Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 5679 / 11872
↖ ↑ ↗
← S 62.593341°
W 55.217285°		 ← 1 124.65 m → S 62.593341°
W 55.195312°		 →
↑
1 124.42 m
↓
↑
1 124.42 m
↓
S 62.603453°
W 55.217285°		 ← 1 124.27 m →
1 264 359 m²		 S 62.603453°
W 55.195312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5679 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11872 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346649169921875 y=0.724639892578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346649169921875 × 214)
    floor (0.346649169921875 × 16384)
    floor (5679.5)     		tx = 5679
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724639892578125 × 214)
    floor (0.724639892578125 × 16384)
    floor (11872.5)     		ty = 11872
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5679 / 11872 ti = "14/5679/11872"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5679/11872.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5679 ÷ 214
    5679 ÷ 16384     		x = 0.34661865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11872 ÷ 214
    11872 ÷ 16384     		y = 0.724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34661865234375 × 2 - 1) × π
    -0.3067626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.96372343
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724609375 × 2 - 1) × π
    -0.44921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.41126232481445
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96372343} λ = -0.96372343}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41126232481445))-π/2
    2×atan(0.243835289463767)-π/2
    2×0.239168219752432-π/2
    0.478336439504865-1.57079632675     		φ = -1.09245989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96372343} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.217285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09245989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.593341°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5679 KachelY 11872 -0.96372343 -1.09245989 -55.217285 -62.593341
    Oben rechts KachelX + 1 5680 KachelY 11872 -0.96333993 -1.09245989 -55.195312 -62.593341
    Unten links KachelX 5679 KachelY + 1 11873 -0.96372343 -1.09263638 -55.217285 -62.603453
    Unten rechts KachelX + 1 5680 KachelY + 1 11873 -0.96333993 -1.09263638 -55.195312 -62.603453
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09245989--1.09263638) × R
    0.000176490000000085 × 6371000     		dl = 1124.41779000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09245989--1.09263638) × R
    0.000176490000000085 × 6371000     		dr = 1124.41779000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96372343--0.96333993) × cos(-1.09245989) × R
    0.000383500000000092 × 0.460302965131908 × 6371000     		do = 1124.64833819331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96372343--0.96333993) × cos(-1.09263638) × R
    0.000383500000000092 × 0.46014627686714 × 6371000     		du = 1124.2655051248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09245989)-sin(-1.09263638))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.460302965131908-0.46014627686714)×R²
    abs(-0.96333993--0.96372343)×0.000156688264768112×R²
    0.000383500000000092×0.000156688264768112×6371000²
    0.000383500000000092×0.000156688264768112×40589641000000     		ar = 1264359.37008503m²