Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 56785 / 9711
↖ ↑ ↗
← N 77.486278°
E131.929321°		 ← 132.34 m → N 77.486278°
E131.934814°		 →
↑
132.33 m
↓
↑
132.33 m
↓
N 77.485088°
E131.929321°		 ← 132.35 m →
17 513 m²		 N 77.485088°
E131.934814°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56785 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9711 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.866477966308594 y=0.148185729980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.866477966308594 × 216)
    floor (0.866477966308594 × 65536)
    floor (56785.5)     		tx = 56785
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148185729980469 × 216)
    floor (0.148185729980469 × 65536)
    floor (9711.5)     		ty = 9711
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 56785 / 9711 ti = "16/56785/9711"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/56785/9711.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56785 ÷ 216
    56785 ÷ 65536     		x = 0.866470336914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9711 ÷ 216
    9711 ÷ 65536     		y = 0.148178100585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.866470336914062 × 2 - 1) × π
    0.732940673828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.30260104
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148178100585938 × 2 - 1) × π
    0.703643798828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.21056218907927
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.30260104} λ = 2.30260104}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21056218907927))-π/2
    2×atan(9.12084259005717)-π/2
    2×1.46159350470251-π/2
    2.92318700940503-1.57079632675     		φ = 1.35239068
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.30260104} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.929321°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35239068 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.486278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56785 KachelY 9711 2.30260104 1.35239068 131.929321 77.486278
    Oben rechts KachelX + 1 56786 KachelY 9711 2.30269691 1.35239068 131.934814 77.486278
    Unten links KachelX 56785 KachelY + 1 9712 2.30260104 1.35236991 131.929321 77.485088
    Unten rechts KachelX + 1 56786 KachelY + 1 9712 2.30269691 1.35236991 131.934814 77.485088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35239068-1.35236991) × R
    2.07700000001143e-05 × 6371000     		dl = 132.325670000728m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35239068-1.35236991) × R
    2.07700000001143e-05 × 6371000     		dr = 132.325670000728m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.30260104-2.30269691) × cos(1.35239068) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.216673421148199 × 6371000     		do = 132.341475721376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.30260104-2.30269691) × cos(1.35236991) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.216693697692332 × 6371000     		du = 132.35386038655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35239068)-sin(1.35236991))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216673421148199-0.216693697692332)×R²
    abs(2.30269691-2.30260104)×2.02765441325026e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.02765441325026e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.02765441325026e-05×40589641000000     		ar = 17512.9938487879m²