Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56784 / 18000
↖ ↑ ↗
← N 78.304955°
W 24.038086°		 ← 61.91 m → N 78.304955°
W 24.035339°		 →
↑
61.93 m
↓
↑
61.93 m
↓
N 78.304398°
W 24.038086°		 ← 61.91 m →
3 834 m²		 N 78.304398°
W 24.035339°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56784 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433231353759766 y=0.137332916259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433231353759766 × 217)
    floor (0.433231353759766 × 131072)
    floor (56784.5)     		tx = 56784
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137332916259766 × 217)
    floor (0.137332916259766 × 131072)
    floor (18000.5)     		ty = 18000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56784 / 18000 ti = "17/56784/18000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56784/18000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56784 ÷ 217
    56784 ÷ 131072     		x = 0.4332275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18000 ÷ 217
    18000 ÷ 131072     		y = 0.1373291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4332275390625 × 2 - 1) × π
    -0.133544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.41954375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1373291015625 × 2 - 1) × π
    0.725341796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.27872846033899
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41954375} λ = -0.41954375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27872846033899))-π/2
    2×atan(9.76425687281887)-π/2
    2×1.46873780670998-π/2
    2.93747561341997-1.57079632675     		φ = 1.36667929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41954375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.038086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36667929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.304955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56784 KachelY 18000 -0.41954375 1.36667929 -24.038086 78.304955
    Oben rechts KachelX + 1 56785 KachelY 18000 -0.41949581 1.36667929 -24.035339 78.304955
    Unten links KachelX 56784 KachelY + 1 18001 -0.41954375 1.36666957 -24.038086 78.304398
    Unten rechts KachelX + 1 56785 KachelY + 1 18001 -0.41949581 1.36666957 -24.035339 78.304398
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36667929-1.36666957) × R
    9.71999999999085e-06 × 6371000     		dl = 61.9261199999417m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36667929-1.36666957) × R
    9.71999999999085e-06 × 6371000     		dr = 61.9261199999417m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41954375--0.41949581) × cos(1.36667929) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.202702605839304 × 6371000     		do = 61.9105933883571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41954375--0.41949581) × cos(1.36666957) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.202712124045883 × 6371000     		du = 61.913500493645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36667929)-sin(1.36666957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202702605839304-0.202712124045883)×R²
    abs(-0.41949581--0.41954375)×9.51820657926761e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.51820657926761e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.51820657926761e-06×40589641000000     		ar = 3833.97284831174m²