Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56783 / 44629
↖ ↑ ↗
← N 49.687178°
W 24.040832°		 ← 197.56 m → N 49.687178°
W 24.038086°		 →
↑
197.56 m
↓
↑
197.56 m
↓
N 49.685401°
W 24.040832°		 ← 197.56 m →
39 031 m²		 N 49.685401°
W 24.038086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56783 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44629 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433223724365234 y=0.340496063232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433223724365234 × 217)
    floor (0.433223724365234 × 131072)
    floor (56783.5)     		tx = 56783
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340496063232422 × 217)
    floor (0.340496063232422 × 131072)
    floor (44629.5)     		ty = 44629
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56783 / 44629 ti = "17/56783/44629"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56783/44629.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56783 ÷ 217
    56783 ÷ 131072     		x = 0.433219909667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44629 ÷ 217
    44629 ÷ 131072     		y = 0.340492248535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433219909667969 × 2 - 1) × π
    -0.133560180664062 × 3.1415926535     		Λ = -0.41959168
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340492248535156 × 2 - 1) × π
    0.319015502929688 × 3.1415926535     		Φ = 1.00221676035651
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41959168} λ = -0.41959168}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00221676035651))-π/2
    2×atan(2.72431429164652)-π/2
    2×1.21900058928839-π/2
    2.43800117857678-1.57079632675     		φ = 0.86720485
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41959168} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.040832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86720485 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.687178°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56783 KachelY 44629 -0.41959168 0.86720485 -24.040832 49.687178
    Oben rechts KachelX + 1 56784 KachelY 44629 -0.41954375 0.86720485 -24.038086 49.687178
    Unten links KachelX 56783 KachelY + 1 44630 -0.41959168 0.86717384 -24.040832 49.685401
    Unten rechts KachelX + 1 56784 KachelY + 1 44630 -0.41954375 0.86717384 -24.038086 49.685401
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86720485-0.86717384) × R
    3.10100000000535e-05 × 6371000     		dl = 197.564710000341m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86720485-0.86717384) × R
    3.10100000000535e-05 × 6371000     		dr = 197.564710000341m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41959168--0.41954375) × cos(0.86720485) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.646960439517146 × 6371000     		do = 197.557153140769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41959168--0.41954375) × cos(0.86717384) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.646984085061879 × 6371000     		du = 197.564373592309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86720485)-sin(0.86717384))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646960439517146-0.646984085061879)×R²
    abs(-0.41954375--0.41959168)×2.36455447329975e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36455447329975e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36455447329975e-05×40589641000000     		ar = 39031.0349250239m²