Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56779 / 44708
↖ ↑ ↗
← N 49.546598°
W 24.051819°		 ← 198.17 m → N 49.546598°
W 24.049072°		 →
↑
198.14 m
↓
↑
198.14 m
↓
N 49.544816°
W 24.051819°		 ← 198.18 m →
39 266 m²		 N 49.544816°
W 24.049072°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56779 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44708 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433193206787109 y=0.341098785400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433193206787109 × 217)
    floor (0.433193206787109 × 131072)
    floor (56779.5)     		tx = 56779
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341098785400391 × 217)
    floor (0.341098785400391 × 131072)
    floor (44708.5)     		ty = 44708
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56779 / 44708 ti = "17/56779/44708"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56779/44708.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56779 ÷ 217
    56779 ÷ 131072     		x = 0.433189392089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44708 ÷ 217
    44708 ÷ 131072     		y = 0.341094970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433189392089844 × 2 - 1) × π
    -0.133621215820312 × 3.1415926535     		Λ = -0.41978343
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341094970703125 × 2 - 1) × π
    0.31781005859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.99842974528653
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41978343} λ = -0.41978343}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.99842974528653))-π/2
    2×atan(2.71401678308553)-π/2
    2×1.21777379560578-π/2
    2.43554759121156-1.57079632675     		φ = 0.86475126
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41978343} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.051819°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86475126 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.546598°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56779 KachelY 44708 -0.41978343 0.86475126 -24.051819 49.546598
    Oben rechts KachelX + 1 56780 KachelY 44708 -0.41973549 0.86475126 -24.049072 49.546598
    Unten links KachelX 56779 KachelY + 1 44709 -0.41978343 0.86472016 -24.051819 49.544816
    Unten rechts KachelX + 1 56780 KachelY + 1 44709 -0.41973549 0.86472016 -24.049072 49.544816
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86475126-0.86472016) × R
    3.11000000000616e-05 × 6371000     		dl = 198.138100000393m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86475126-0.86472016) × R
    3.11000000000616e-05 × 6371000     		dr = 198.138100000393m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41978343--0.41973549) × cos(0.86475126) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.648829410454308 × 6371000     		do = 198.16920282187m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41978343--0.41973549) × cos(0.86472016) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.648853075184734 × 6371000     		du = 198.176430639673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86475126)-sin(0.86472016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.648829410454308-0.648853075184734)×R²
    abs(-0.41973549--0.41978343)×2.36647304264759e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36647304264759e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36647304264759e-05×40589641000000     		ar = 39265.5853819838m²