Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 56778 / 9722
↖ ↑ ↗
← N 77.473179°
E131.890869°		 ← 132.48 m → N 77.473179°
E131.896362°		 →
↑
132.52 m
↓
↑
132.52 m
↓
N 77.471988°
E131.890869°		 ← 132.49 m →
17 556 m²		 N 77.471988°
E131.896362°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56778 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9722 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.866371154785156 y=0.148353576660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.866371154785156 × 216)
    floor (0.866371154785156 × 65536)
    floor (56778.5)     		tx = 56778
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148353576660156 × 216)
    floor (0.148353576660156 × 65536)
    floor (9722.5)     		ty = 9722
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 56778 / 9722 ti = "16/56778/9722"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/56778/9722.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56778 ÷ 216
    56778 ÷ 65536     		x = 0.866363525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9722 ÷ 216
    9722 ÷ 65536     		y = 0.148345947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.866363525390625 × 2 - 1) × π
    0.73272705078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.30192992
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148345947265625 × 2 - 1) × π
    0.70330810546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.20950757728763
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.30192992} λ = 2.30192992}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20950757728763))-π/2
    2×atan(9.11122871225749)-π/2
    2×1.46147919269706-π/2
    2.92295838539412-1.57079632675     		φ = 1.35216206
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.30192992} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.890869°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35216206 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.473179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56778 KachelY 9722 2.30192992 1.35216206 131.890869 77.473179
    Oben rechts KachelX + 1 56779 KachelY 9722 2.30202579 1.35216206 131.896362 77.473179
    Unten links KachelX 56778 KachelY + 1 9723 2.30192992 1.35214126 131.890869 77.471988
    Unten rechts KachelX + 1 56779 KachelY + 1 9723 2.30202579 1.35214126 131.896362 77.471988
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35216206-1.35214126) × R
    2.0799999999932e-05 × 6371000     		dl = 132.516799999567m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35216206-1.35214126) × R
    2.0799999999932e-05 × 6371000     		dr = 132.516799999567m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.30192992-2.30202579) × cos(1.35216206) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.216896604419995 × 6371000     		do = 132.477793334258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.30192992-2.30202579) × cos(1.35214126) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.216916909220392 × 6371000     		du = 132.490195258013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35216206)-sin(1.35214126))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216896604419995-0.216916909220392)×R²
    abs(2.30202579-2.30192992)×2.03048003963313e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.03048003963313e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.03048003963313e-05×40589641000000     		ar = 17556.3549760826m²