Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56778 / 44618
↖ ↑ ↗
← N 49.706720°
W 24.054566°		 ← 197.52 m → N 49.706720°
W 24.051819°		 →
↑
197.50 m
↓
↑
197.50 m
↓
N 49.704944°
W 24.054566°		 ← 197.53 m →
39 011 m²		 N 49.704944°
W 24.051819°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56778 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44618 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433185577392578 y=0.340412139892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433185577392578 × 217)
    floor (0.433185577392578 × 131072)
    floor (56778.5)     		tx = 56778
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340412139892578 × 217)
    floor (0.340412139892578 × 131072)
    floor (44618.5)     		ty = 44618
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56778 / 44618 ti = "17/56778/44618"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56778/44618.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56778 ÷ 217
    56778 ÷ 131072     		x = 0.433181762695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44618 ÷ 217
    44618 ÷ 131072     		y = 0.340408325195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433181762695312 × 2 - 1) × π
    -0.133636474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.41983137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340408325195312 × 2 - 1) × π
    0.319183349609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.00274406625233
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41983137} λ = -0.41983137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00274406625233))-π/2
    2×atan(2.725751217451)-π/2
    2×1.21917112802411-π/2
    2.43834225604822-1.57079632675     		φ = 0.86754593
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41983137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.054566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86754593 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.706720°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56778 KachelY 44618 -0.41983137 0.86754593 -24.054566 49.706720
    Oben rechts KachelX + 1 56779 KachelY 44618 -0.41978343 0.86754593 -24.051819 49.706720
    Unten links KachelX 56778 KachelY + 1 44619 -0.41983137 0.86751493 -24.054566 49.704944
    Unten rechts KachelX + 1 56779 KachelY + 1 44619 -0.41978343 0.86751493 -24.051819 49.704944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86754593-0.86751493) × R
    3.10000000000032e-05 × 6371000     		dl = 197.501000000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86754593-0.86751493) × R
    3.10000000000032e-05 × 6371000     		dr = 197.501000000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41983137--0.41978343) × cos(0.86754593) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.646700320351821 × 6371000     		do = 197.518923901562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41983137--0.41978343) × cos(0.86751493) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.646723965110892 × 6371000     		du = 197.526145619599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86754593)-sin(0.86751493))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646700320351821-0.646723965110892)×R²
    abs(-0.41978343--0.41983137)×2.36447590710176e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36447590710176e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36447590710176e-05×40589641000000     		ar = 39010.8981409259m²