Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56773 / 44702
↖ ↑ ↗
← N 49.557289°
W 24.068298°		 ← 198.13 m → N 49.557289°
W 24.065552°		 →
↑
198.14 m
↓
↑
198.14 m
↓
N 49.555507°
W 24.068298°		 ← 198.13 m →
39 257 m²		 N 49.555507°
W 24.065552°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56773 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44702 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433147430419922 y=0.341053009033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433147430419922 × 217)
    floor (0.433147430419922 × 131072)
    floor (56773.5)     		tx = 56773
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341053009033203 × 217)
    floor (0.341053009033203 × 131072)
    floor (44702.5)     		ty = 44702
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56773 / 44702 ti = "17/56773/44702"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56773/44702.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56773 ÷ 217
    56773 ÷ 131072     		x = 0.433143615722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44702 ÷ 217
    44702 ÷ 131072     		y = 0.341049194335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433143615722656 × 2 - 1) × π
    -0.133712768554688 × 3.1415926535     		Λ = -0.42007105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341049194335938 × 2 - 1) × π
    0.317901611328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.99871736668425
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42007105} λ = -0.42007105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.99871736668425))-π/2
    2×atan(2.71479750465685)-π/2
    2×1.21786709400566-π/2
    2.43573418801132-1.57079632675     		φ = 0.86493786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42007105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.068298°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86493786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.557289°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56773 KachelY 44702 -0.42007105 0.86493786 -24.068298 49.557289
    Oben rechts KachelX + 1 56774 KachelY 44702 -0.42002311 0.86493786 -24.065552 49.557289
    Unten links KachelX 56773 KachelY + 1 44703 -0.42007105 0.86490676 -24.068298 49.555507
    Unten rechts KachelX + 1 56774 KachelY + 1 44703 -0.42002311 0.86490676 -24.065552 49.555507
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86493786-0.86490676) × R
    3.10999999999506e-05 × 6371000     		dl = 198.138099999685m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86493786-0.86490676) × R
    3.10999999999506e-05 × 6371000     		dr = 198.138099999685m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42007105--0.42002311) × cos(0.86493786) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.64868740889391 × 6371000     		do = 198.125831890204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42007105--0.42002311) × cos(0.86490676) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.648711077389319 × 6371000     		du = 198.133060857929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86493786)-sin(0.86490676))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64868740889391-0.648711077389319)×R²
    abs(-0.42002311--0.42007105)×2.36684954089128e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36684954089128e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36684954089128e-05×40589641000000     		ar = 39256.9920617205m²