Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56772 / 44630
↖ ↑ ↗
← N 49.685401°
W 24.071045°		 ← 197.61 m → N 49.685401°
W 24.068298°		 →
↑
197.63 m
↓
↑
197.63 m
↓
N 49.683624°
W 24.071045°		 ← 197.61 m →
39 053 m²		 N 49.683624°
W 24.068298°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56772 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44630 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433139801025391 y=0.340503692626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433139801025391 × 217)
    floor (0.433139801025391 × 131072)
    floor (56772.5)     		tx = 56772
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340503692626953 × 217)
    floor (0.340503692626953 × 131072)
    floor (44630.5)     		ty = 44630
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56772 / 44630 ti = "17/56772/44630"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56772/44630.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56772 ÷ 217
    56772 ÷ 131072     		x = 0.433135986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44630 ÷ 217
    44630 ÷ 131072     		y = 0.340499877929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433135986328125 × 2 - 1) × π
    -0.13372802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.42011899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340499877929688 × 2 - 1) × π
    0.319000244140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.00216882345689
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42011899} λ = -0.42011899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00216882345689))-π/2
    2×atan(2.7241836995959)-π/2
    2×1.21898508236619-π/2
    2.43797016473238-1.57079632675     		φ = 0.86717384
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42011899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.071045°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86717384 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.685401°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56772 KachelY 44630 -0.42011899 0.86717384 -24.071045 49.685401
    Oben rechts KachelX + 1 56773 KachelY 44630 -0.42007105 0.86717384 -24.068298 49.685401
    Unten links KachelX 56772 KachelY + 1 44631 -0.42011899 0.86714282 -24.071045 49.683624
    Unten rechts KachelX + 1 56773 KachelY + 1 44631 -0.42007105 0.86714282 -24.068298 49.683624
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86717384-0.86714282) × R
    3.10199999999927e-05 × 6371000     		dl = 197.628419999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86717384-0.86714282) × R
    3.10199999999927e-05 × 6371000     		dr = 197.628419999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42011899--0.42007105) × cos(0.86717384) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.646984085061879 × 6371000     		do = 197.605592948347m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42011899--0.42007105) × cos(0.86714282) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.647007737609294 × 6371000     		du = 197.612817045144m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86717384)-sin(0.86714282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646984085061879-0.647007737609294)×R²
    abs(-0.42007105--0.42011899)×2.36525474145433e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36525474145433e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36525474145433e-05×40589641000000     		ar = 39053.1949641426m²