Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56771 / 44701
↖ ↑ ↗
← N 49.559071°
W 24.073792°		 ← 198.12 m → N 49.559071°
W 24.071045°		 →
↑
198.14 m
↓
↑
198.14 m
↓
N 49.557289°
W 24.073792°		 ← 198.13 m →
39 256 m²		 N 49.557289°
W 24.071045°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56771 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44701 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433132171630859 y=0.341045379638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433132171630859 × 217)
    floor (0.433132171630859 × 131072)
    floor (56771.5)     		tx = 56771
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341045379638672 × 217)
    floor (0.341045379638672 × 131072)
    floor (44701.5)     		ty = 44701
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56771 / 44701 ti = "17/56771/44701"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56771/44701.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56771 ÷ 217
    56771 ÷ 131072     		x = 0.433128356933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44701 ÷ 217
    44701 ÷ 131072     		y = 0.341041564941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433128356933594 × 2 - 1) × π
    -0.133743286132812 × 3.1415926535     		Λ = -0.42016693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341041564941406 × 2 - 1) × π
    0.317916870117188 × 3.1415926535     		Φ = 0.99876530358387
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42016693} λ = -0.42016693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.99876530358387))-π/2
    2×atan(2.7149276467516)-π/2
    2×1.21788264175362-π/2
    2.43576528350725-1.57079632675     		φ = 0.86496896
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42016693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.073792°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86496896 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.559071°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56771 KachelY 44701 -0.42016693 0.86496896 -24.073792 49.559071
    Oben rechts KachelX + 1 56772 KachelY 44701 -0.42011899 0.86496896 -24.071045 49.559071
    Unten links KachelX 56771 KachelY + 1 44702 -0.42016693 0.86493786 -24.073792 49.557289
    Unten rechts KachelX + 1 56772 KachelY + 1 44702 -0.42011899 0.86493786 -24.071045 49.557289
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86496896-0.86493786) × R
    3.11000000000616e-05 × 6371000     		dl = 198.138100000393m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86496896-0.86493786) × R
    3.11000000000616e-05 × 6371000     		dr = 198.138100000393m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42016693--0.42011899) × cos(0.86496896) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.648663739771084 × 6371000     		do = 198.118602730621m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42016693--0.42011899) × cos(0.86493786) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.64868740889391 × 6371000     		du = 198.125831889975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86496896)-sin(0.86493786))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.648663739771084-0.64868740889391)×R²
    abs(-0.42011899--0.42016693)×2.366912282592e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.366912282592e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.366912282592e-05×40589641000000     		ar = 39255.5597087698m²