Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56768 / 44734
↖ ↑ ↗
← N 49.500242°
W 24.082031°		 ← 198.36 m → N 49.500242°
W 24.079285°		 →
↑
198.39 m
↓
↑
198.39 m
↓
N 49.498458°
W 24.082031°		 ← 198.36 m →
39 353 m²		 N 49.498458°
W 24.079285°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44734 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433109283447266 y=0.341297149658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433109283447266 × 217)
    floor (0.433109283447266 × 131072)
    floor (56768.5)     		tx = 56768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341297149658203 × 217)
    floor (0.341297149658203 × 131072)
    floor (44734.5)     		ty = 44734
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56768 / 44734 ti = "17/56768/44734"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56768/44734.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56768 ÷ 217
    56768 ÷ 131072     		x = 0.43310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44734 ÷ 217
    44734 ÷ 131072     		y = 0.341293334960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43310546875 × 2 - 1) × π
    -0.1337890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.42031074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341293334960938 × 2 - 1) × π
    0.317413330078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.997183385896408
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42031074} λ = -0.42031074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.997183385896408))-π/2
    2×atan(2.71063624990023)-π/2
    2×1.21736926654105-π/2
    2.43473853308209-1.57079632675     		φ = 0.86394221
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42031074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.082031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86394221 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.500242°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56768 KachelY 44734 -0.42031074 0.86394221 -24.082031 49.500242
    Oben rechts KachelX + 1 56769 KachelY 44734 -0.42026280 0.86394221 -24.079285 49.500242
    Unten links KachelX 56768 KachelY + 1 44735 -0.42031074 0.86391107 -24.082031 49.498458
    Unten rechts KachelX + 1 56769 KachelY + 1 44735 -0.42026280 0.86391107 -24.079285 49.498458
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86394221-0.86391107) × R
    3.11400000000406e-05 × 6371000     		dl = 198.392940000259m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86394221-0.86391107) × R
    3.11400000000406e-05 × 6371000     		dr = 198.392940000259m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42031074--0.42026280) × cos(0.86394221) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.649444831607298 × 6371000     		do = 198.357168282934m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42031074--0.42026280) × cos(0.86391107) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.649468510419732 × 6371000     		du = 198.364400401744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86394221)-sin(0.86391107))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649444831607298-0.649468510419732)×R²
    abs(-0.42026280--0.42031074)×2.36788124335918e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36788124335918e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36788124335918e-05×40589641000000     		ar = 39353.3791895445m²