Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56767 / 44735
↖ ↑ ↗
← N 49.498458°
W 24.084778°		 ← 198.32 m → N 49.498458°
W 24.082031°		 →
↑
198.33 m
↓
↑
198.33 m
↓
N 49.496675°
W 24.084778°		 ← 198.33 m →
39 334 m²		 N 49.496675°
W 24.082031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56767 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44735 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433101654052734 y=0.341304779052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433101654052734 × 217)
    floor (0.433101654052734 × 131072)
    floor (56767.5)     		tx = 56767
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341304779052734 × 217)
    floor (0.341304779052734 × 131072)
    floor (44735.5)     		ty = 44735
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56767 / 44735 ti = "17/56767/44735"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56767/44735.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56767 ÷ 217
    56767 ÷ 131072     		x = 0.433097839355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44735 ÷ 217
    44735 ÷ 131072     		y = 0.341300964355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433097839355469 × 2 - 1) × π
    -0.133804321289062 × 3.1415926535     		Λ = -0.42035867
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341300964355469 × 2 - 1) × π
    0.317398071289062 × 3.1415926535     		Φ = 0.997135448996788
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42035867} λ = -0.42035867}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.997135448996788))-π/2
    2×atan(2.71050631351681)-π/2
    2×1.21735370007142-π/2
    2.43470740014284-1.57079632675     		φ = 0.86391107
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42035867} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.084778°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86391107 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.498458°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56767 KachelY 44735 -0.42035867 0.86391107 -24.084778 49.498458
    Oben rechts KachelX + 1 56768 KachelY 44735 -0.42031074 0.86391107 -24.082031 49.498458
    Unten links KachelX 56767 KachelY + 1 44736 -0.42035867 0.86387994 -24.084778 49.496675
    Unten rechts KachelX + 1 56768 KachelY + 1 44736 -0.42031074 0.86387994 -24.082031 49.496675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86391107-0.86387994) × R
    3.11299999999903e-05 × 6371000     		dl = 198.329229999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86391107-0.86387994) × R
    3.11299999999903e-05 × 6371000     		dr = 198.329229999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42035867--0.42031074) × cos(0.86391107) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.649468510419732 × 6371000     		do = 198.323022762737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42035867--0.42031074) × cos(0.86387994) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.649492180998693 × 6371000     		du = 198.33025085878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86391107)-sin(0.86387994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649468510419732-0.649492180998693)×R²
    abs(-0.42031074--0.42035867)×2.36705789615765e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.36705789615765e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.36705789615765e-05×40589641000000     		ar = 39333.9691703579m²