Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56767 / 44329
↖ ↑ ↗
← N 50.217337°
W 24.084778°		 ← 195.39 m → N 50.217337°
W 24.082031°		 →
↑
195.46 m
↓
↑
195.46 m
↓
N 50.215580°
W 24.084778°		 ← 195.40 m →
38 193 m²		 N 50.215580°
W 24.082031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56767 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44329 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433101654052734 y=0.338207244873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433101654052734 × 217)
    floor (0.433101654052734 × 131072)
    floor (56767.5)     		tx = 56767
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338207244873047 × 217)
    floor (0.338207244873047 × 131072)
    floor (44329.5)     		ty = 44329
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56767 / 44329 ti = "17/56767/44329"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56767/44329.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56767 ÷ 217
    56767 ÷ 131072     		x = 0.433097839355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44329 ÷ 217
    44329 ÷ 131072     		y = 0.338203430175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433097839355469 × 2 - 1) × π
    -0.133804321289062 × 3.1415926535     		Λ = -0.42035867
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338203430175781 × 2 - 1) × π
    0.323593139648438 × 3.1415926535     		Φ = 1.01659783024253
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42035867} λ = -0.42035867}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01659783024253))-π/2
    2×atan(2.76377591595177)-π/2
    2×1.22362710105491-π/2
    2.44725420210982-1.57079632675     		φ = 0.87645788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42035867} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.084778°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87645788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.217337°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56767 KachelY 44329 -0.42035867 0.87645788 -24.084778 50.217337
    Oben rechts KachelX + 1 56768 KachelY 44329 -0.42031074 0.87645788 -24.082031 50.217337
    Unten links KachelX 56767 KachelY + 1 44330 -0.42035867 0.87642720 -24.084778 50.215580
    Unten rechts KachelX + 1 56768 KachelY + 1 44330 -0.42031074 0.87642720 -24.082031 50.215580
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87645788-0.87642720) × R
    3.06800000000607e-05 × 6371000     		dl = 195.462280000386m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87645788-0.87642720) × R
    3.06800000000607e-05 × 6371000     		dr = 195.462280000386m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42035867--0.42031074) × cos(0.87645788) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.639877191046912 × 6371000     		do = 195.394198008676m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42035867--0.42031074) × cos(0.87642720) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.639900767625729 × 6371000     		du = 195.401397400644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87645788)-sin(0.87642720))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639877191046912-0.639900767625729)×R²
    abs(-0.42031074--0.42035867)×2.35765788163533e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.35765788163533e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.35765788163533e-05×40589641000000     		ar = 38192.899049452m²