Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 56766 / 9310
↖ ↑ ↗
← N 77.954707°
E131.824951°		 ← 127.48 m → N 77.954707°
E131.830444°		 →
↑
127.48 m
↓
↑
127.48 m
↓
N 77.953560°
E131.824951°		 ← 127.49 m →
16 252 m²		 N 77.953560°
E131.830444°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56766 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9310 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.866188049316406 y=0.142066955566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.866188049316406 × 216)
    floor (0.866188049316406 × 65536)
    floor (56766.5)     		tx = 56766
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142066955566406 × 216)
    floor (0.142066955566406 × 65536)
    floor (9310.5)     		ty = 9310
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 56766 / 9310 ti = "16/56766/9310"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/56766/9310.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56766 ÷ 216
    56766 ÷ 65536     		x = 0.866180419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9310 ÷ 216
    9310 ÷ 65536     		y = 0.142059326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.866180419921875 × 2 - 1) × π
    0.73236083984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.30077943
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142059326171875 × 2 - 1) × π
    0.71588134765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.24900758257455
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.30077943} λ = 2.30077943}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24900758257455))-π/2
    2×atan(9.4783247126405)-π/2
    2×1.46568131343296-π/2
    2.93136262686593-1.57079632675     		φ = 1.36056630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.30077943} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.824951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36056630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.954707°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56766 KachelY 9310 2.30077943 1.36056630 131.824951 77.954707
    Oben rechts KachelX + 1 56767 KachelY 9310 2.30087531 1.36056630 131.830444 77.954707
    Unten links KachelX 56766 KachelY + 1 9311 2.30077943 1.36054629 131.824951 77.953560
    Unten rechts KachelX + 1 56767 KachelY + 1 9311 2.30087531 1.36054629 131.830444 77.953560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36056630-1.36054629) × R
    2.00099999998482e-05 × 6371000     		dl = 127.483709999033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36056630-1.36054629) × R
    2.00099999998482e-05 × 6371000     		dr = 127.483709999033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.30077943-2.30087531) × cos(1.36056630) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.20868486764569 × 6371000     		do = 127.475460254891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.30077943-2.30087531) × cos(1.36054629) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.208704437042489 × 6371000     		du = 127.487414249888m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36056630)-sin(1.36054629))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20868486764569-0.208704437042489)×R²
    abs(2.30087531-2.30077943)×1.95693967989519e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.95693967989519e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.95693967989519e-05×40589641000000     		ar = 16251.8065773204m²