Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56766 / 44694
↖ ↑ ↗
← N 49.571540°
W 24.087524°		 ← 198.07 m → N 49.571540°
W 24.084778°		 →
↑
198.01 m
↓
↑
198.01 m
↓
N 49.569759°
W 24.087524°		 ← 198.08 m →
39 220 m²		 N 49.569759°
W 24.084778°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56766 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44694 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433094024658203 y=0.340991973876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433094024658203 × 217)
    floor (0.433094024658203 × 131072)
    floor (56766.5)     		tx = 56766
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340991973876953 × 217)
    floor (0.340991973876953 × 131072)
    floor (44694.5)     		ty = 44694
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56766 / 44694 ti = "17/56766/44694"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56766/44694.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56766 ÷ 217
    56766 ÷ 131072     		x = 0.433090209960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44694 ÷ 217
    44694 ÷ 131072     		y = 0.340988159179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433090209960938 × 2 - 1) × π
    -0.133819580078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.42040661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340988159179688 × 2 - 1) × π
    0.318023681640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.99910086188121
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42040661} λ = -0.42040661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.99910086188121))-π/2
    2×atan(2.71583881611681)-π/2
    2×1.21799146010733-π/2
    2.43598292021467-1.57079632675     		φ = 0.86518659
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42040661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.087524°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86518659 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.571540°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56766 KachelY 44694 -0.42040661 0.86518659 -24.087524 49.571540
    Oben rechts KachelX + 1 56767 KachelY 44694 -0.42035867 0.86518659 -24.084778 49.571540
    Unten links KachelX 56766 KachelY + 1 44695 -0.42040661 0.86515551 -24.087524 49.569759
    Unten rechts KachelX + 1 56767 KachelY + 1 44695 -0.42035867 0.86515551 -24.084778 49.569759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86518659-0.86515551) × R
    3.10799999999611e-05 × 6371000     		dl = 198.010679999752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86518659-0.86515551) × R
    3.10799999999611e-05 × 6371000     		dr = 198.010679999752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42040661--0.42035867) × cos(0.86518659) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.648498091630693 × 6371000     		do = 198.068009524992m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42040661--0.42035867) × cos(0.86515551) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.648521749919462 × 6371000     		du = 198.075235375346m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86518659)-sin(0.86515551))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.648498091630693-0.648521749919462)×R²
    abs(-0.42035867--0.42040661)×2.36582887692682e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36582887692682e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36582887692682e-05×40589641000000     		ar = 39220.2966532957m²