Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 56765 / 9308
↖ ↑ ↗
← N 77.956999°
E131.819458°		 ← 127.44 m → N 77.956999°
E131.824951°		 →
↑
127.42 m
↓
↑
127.42 m
↓
N 77.955853°
E131.819458°		 ← 127.45 m →
16 239 m²		 N 77.955853°
E131.824951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56765 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9308 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.866172790527344 y=0.142036437988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.866172790527344 × 216)
    floor (0.866172790527344 × 65536)
    floor (56765.5)     		tx = 56765
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142036437988281 × 216)
    floor (0.142036437988281 × 65536)
    floor (9308.5)     		ty = 9308
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 56765 / 9308 ti = "16/56765/9308"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/56765/9308.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56765 ÷ 216
    56765 ÷ 65536     		x = 0.866165161132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9308 ÷ 216
    9308 ÷ 65536     		y = 0.14202880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.866165161132812 × 2 - 1) × π
    0.732330322265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.30068356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14202880859375 × 2 - 1) × π
    0.7159423828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.24919933017303
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.30068356} λ = 2.30068356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24919933017303))-π/2
    2×atan(9.48014233289835)-π/2
    2×1.46570131896822-π/2
    2.93140263793644-1.57079632675     		φ = 1.36060631
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.30068356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.819458°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36060631 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.956999°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56765 KachelY 9308 2.30068356 1.36060631 131.819458 77.956999
    Oben rechts KachelX + 1 56766 KachelY 9308 2.30077943 1.36060631 131.824951 77.956999
    Unten links KachelX 56765 KachelY + 1 9309 2.30068356 1.36058631 131.819458 77.955853
    Unten rechts KachelX + 1 56766 KachelY + 1 9309 2.30077943 1.36058631 131.824951 77.955853
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36060631-1.36058631) × R
    2.0000000000131e-05 × 6371000     		dl = 127.420000000835m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36060631-1.36058631) × R
    2.0000000000131e-05 × 6371000     		dr = 127.420000000835m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.30068356-2.30077943) × cos(1.36060631) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.20864573838134 × 6371000     		do = 127.43826526594m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.30068356-2.30077943) × cos(1.36058631) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.208665298165334 × 6371000     		du = 127.450212142787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36060631)-sin(1.36058631))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20864573838134-0.208665298165334)×R²
    abs(2.30077943-2.30068356)×1.95597839934003e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.95597839934003e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.95597839934003e-05×40589641000000     		ar = 16238.9448962353m²