Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 56765 / 9286
↖ ↑ ↗
← N 77.982188°
E131.819458°		 ← 127.18 m → N 77.982188°
E131.824951°		 →
↑
127.23 m
↓
↑
127.23 m
↓
N 77.981044°
E131.819458°		 ← 127.19 m →
16 181 m²		 N 77.981044°
E131.824951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56765 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9286 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.866172790527344 y=0.141700744628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.866172790527344 × 216)
    floor (0.866172790527344 × 65536)
    floor (56765.5)     		tx = 56765
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141700744628906 × 216)
    floor (0.141700744628906 × 65536)
    floor (9286.5)     		ty = 9286
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 56765 / 9286 ti = "16/56765/9286"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/56765/9286.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56765 ÷ 216
    56765 ÷ 65536     		x = 0.866165161132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9286 ÷ 216
    9286 ÷ 65536     		y = 0.141693115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.866165161132812 × 2 - 1) × π
    0.732330322265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.30068356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141693115234375 × 2 - 1) × π
    0.71661376953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.25130855375632
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.30068356} λ = 2.30068356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25130855375632))-π/2
    2×atan(9.50015917525681)-π/2
    2×1.46592113242213-π/2
    2.93184226484426-1.57079632675     		φ = 1.36104594
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.30068356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.819458°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36104594 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.982188°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56765 KachelY 9286 2.30068356 1.36104594 131.819458 77.982188
    Oben rechts KachelX + 1 56766 KachelY 9286 2.30077943 1.36104594 131.824951 77.982188
    Unten links KachelX 56765 KachelY + 1 9287 2.30068356 1.36102597 131.819458 77.981044
    Unten rechts KachelX + 1 56766 KachelY + 1 9287 2.30077943 1.36102597 131.824951 77.981044
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36104594-1.36102597) × R
    1.99699999998693e-05 × 6371000     		dl = 127.228869999167m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36104594-1.36102597) × R
    1.99699999998693e-05 × 6371000     		dr = 127.228869999167m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.30068356-2.30077943) × cos(1.36104594) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.208215763923091 × 6371000     		do = 127.175642125428m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.30068356-2.30077943) × cos(1.36102597) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.208235296197455 × 6371000     		du = 127.18757219973m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36104594)-sin(1.36102597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208215763923091-0.208235296197455)×R²
    abs(2.30077943-2.30068356)×1.95322743646587e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.95322743646587e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.95322743646587e-05×40589641000000     		ar = 16181.1721647859m²