Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56765 / 44332
↖ ↑ ↗
← N 50.212065°
W 24.090271°		 ← 195.46 m → N 50.212065°
W 24.087524°		 →
↑
195.46 m
↓
↑
195.46 m
↓
N 50.210307°
W 24.090271°		 ← 195.46 m →
38 205 m²		 N 50.210307°
W 24.087524°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56765 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433086395263672 y=0.338230133056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433086395263672 × 217)
    floor (0.433086395263672 × 131072)
    floor (56765.5)     		tx = 56765
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338230133056641 × 217)
    floor (0.338230133056641 × 131072)
    floor (44332.5)     		ty = 44332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56765 / 44332 ti = "17/56765/44332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56765/44332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56765 ÷ 217
    56765 ÷ 131072     		x = 0.433082580566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44332 ÷ 217
    44332 ÷ 131072     		y = 0.338226318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433082580566406 × 2 - 1) × π
    -0.133834838867188 × 3.1415926535     		Λ = -0.42045455
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338226318359375 × 2 - 1) × π
    0.32354736328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.01645401954367
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42045455} λ = -0.42045455}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01645401954367))-π/2
    2×atan(2.76337848398397)-π/2
    2×1.22358108791917-π/2
    2.44716217583834-1.57079632675     		φ = 0.87636585
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42045455} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.090271°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87636585 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.212065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56765 KachelY 44332 -0.42045455 0.87636585 -24.090271 50.212065
    Oben rechts KachelX + 1 56766 KachelY 44332 -0.42040661 0.87636585 -24.087524 50.212065
    Unten links KachelX 56765 KachelY + 1 44333 -0.42045455 0.87633517 -24.090271 50.210307
    Unten rechts KachelX + 1 56766 KachelY + 1 44333 -0.42040661 0.87633517 -24.087524 50.210307
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87636585-0.87633517) × R
    3.06799999999496e-05 × 6371000     		dl = 195.462279999679m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87636585-0.87633517) × R
    3.06799999999496e-05 × 6371000     		dr = 195.462279999679m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42045455--0.42040661) × cos(0.87636585) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.639947911292213 × 6371000     		do = 195.45656436775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42045455--0.42040661) × cos(0.87633517) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.639971486064215 × 6371000     		du = 195.463764709934m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87636585)-sin(0.87633517))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639947911292213-0.639971486064215)×R²
    abs(-0.42040661--0.42045455)×2.35747720024326e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35747720024326e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35747720024326e-05×40589641000000     		ar = 38205.08941291m²