Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56763 / 44613
↖ ↑ ↗
← N 49.715601°
W 24.095764°		 ← 197.48 m → N 49.715601°
W 24.093017°		 →
↑
197.50 m
↓
↑
197.50 m
↓
N 49.713824°
W 24.095764°		 ← 197.49 m →
39 004 m²		 N 49.713824°
W 24.093017°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56763 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44613 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433071136474609 y=0.340373992919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433071136474609 × 217)
    floor (0.433071136474609 × 131072)
    floor (56763.5)     		tx = 56763
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340373992919922 × 217)
    floor (0.340373992919922 × 131072)
    floor (44613.5)     		ty = 44613
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56763 / 44613 ti = "17/56763/44613"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56763/44613.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56763 ÷ 217
    56763 ÷ 131072     		x = 0.433067321777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44613 ÷ 217
    44613 ÷ 131072     		y = 0.340370178222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433067321777344 × 2 - 1) × π
    -0.133865356445312 × 3.1415926535     		Λ = -0.42055042
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340370178222656 × 2 - 1) × π
    0.319259643554688 × 3.1415926535     		Φ = 1.00298375075043
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42055042} λ = -0.42055042}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00298375075043))-π/2
    2×atan(2.72640461606514)-π/2
    2×1.21924862296077-π/2
    2.43849724592154-1.57079632675     		φ = 0.86770092
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42055042} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.095764°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86770092 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.715601°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56763 KachelY 44613 -0.42055042 0.86770092 -24.095764 49.715601
    Oben rechts KachelX + 1 56764 KachelY 44613 -0.42050248 0.86770092 -24.093017 49.715601
    Unten links KachelX 56763 KachelY + 1 44614 -0.42055042 0.86766992 -24.095764 49.713824
    Unten rechts KachelX + 1 56764 KachelY + 1 44614 -0.42050248 0.86766992 -24.093017 49.713824
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86770092-0.86766992) × R
    3.10000000000032e-05 × 6371000     		dl = 197.501000000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86770092-0.86766992) × R
    3.10000000000032e-05 × 6371000     		dr = 197.501000000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42055042--0.42050248) × cos(0.86770092) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.646582094863179 × 6371000     		do = 197.482814794207m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42055042--0.42050248) × cos(0.86766992) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.646605742729217 × 6371000     		du = 197.490037461191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86770092)-sin(0.86766992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646582094863179-0.646605742729217)×R²
    abs(-0.42050248--0.42055042)×2.36478660384787e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36478660384787e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36478660384787e-05×40589641000000     		ar = 39003.7666497714m²