Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 56761 / 9306
↖ ↑ ↗
← N 77.959291°
E131.797486°		 ← 127.41 m → N 77.959291°
E131.802979°		 →
↑
127.42 m
↓
↑
127.42 m
↓
N 77.958145°
E131.797486°		 ← 127.43 m →
16 236 m²		 N 77.958145°
E131.802979°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56761 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9306 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.866111755371094 y=0.142005920410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.866111755371094 × 216)
    floor (0.866111755371094 × 65536)
    floor (56761.5)     		tx = 56761
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142005920410156 × 216)
    floor (0.142005920410156 × 65536)
    floor (9306.5)     		ty = 9306
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 56761 / 9306 ti = "16/56761/9306"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/56761/9306.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56761 ÷ 216
    56761 ÷ 65536     		x = 0.866104125976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9306 ÷ 216
    9306 ÷ 65536     		y = 0.141998291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.866104125976562 × 2 - 1) × π
    0.732208251953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.30030007
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141998291015625 × 2 - 1) × π
    0.71600341796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.24939107777152
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.30030007} λ = 2.30030007}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24939107777152))-π/2
    2×atan(9.48196030171395)-π/2
    2×1.46572132075224-π/2
    2.93144264150448-1.57079632675     		φ = 1.36064631
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.30030007} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.797486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36064631 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.959291°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56761 KachelY 9306 2.30030007 1.36064631 131.797486 77.959291
    Oben rechts KachelX + 1 56762 KachelY 9306 2.30039594 1.36064631 131.802979 77.959291
    Unten links KachelX 56761 KachelY + 1 9307 2.30030007 1.36062631 131.797486 77.958145
    Unten rechts KachelX + 1 56762 KachelY + 1 9307 2.30039594 1.36062631 131.802979 77.958145
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36064631-1.36062631) × R
    1.9999999999909e-05 × 6371000     		dl = 127.41999999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36064631-1.36062631) × R
    1.9999999999909e-05 × 6371000     		dr = 127.41999999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.30030007-2.30039594) × cos(1.36064631) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.208606618562987 × 6371000     		do = 127.414371359325m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.30030007-2.30039594) × cos(1.36062631) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.208626178513889 × 6371000     		du = 127.426318338117m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36064631)-sin(1.36062631))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208606618562987-0.208626178513889)×R²
    abs(2.30039594-2.30030007)×1.95599509019428e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.95599509019428e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.95599509019428e-05×40589641000000     		ar = 16235.9003411237m²