Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56761 / 44744
↖ ↑ ↗
← N 49.482402°
W 24.101257°		 ← 198.39 m → N 49.482402°
W 24.098511°		 →
↑
198.46 m
↓
↑
198.46 m
↓
N 49.480617°
W 24.101257°		 ← 198.40 m →
39 372 m²		 N 49.480617°
W 24.098511°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56761 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44744 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433055877685547 y=0.341373443603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433055877685547 × 217)
    floor (0.433055877685547 × 131072)
    floor (56761.5)     		tx = 56761
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341373443603516 × 217)
    floor (0.341373443603516 × 131072)
    floor (44744.5)     		ty = 44744
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56761 / 44744 ti = "17/56761/44744"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56761/44744.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56761 ÷ 217
    56761 ÷ 131072     		x = 0.433052062988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44744 ÷ 217
    44744 ÷ 131072     		y = 0.34136962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433052062988281 × 2 - 1) × π
    -0.133895874023438 × 3.1415926535     		Λ = -0.42064629
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34136962890625 × 2 - 1) × π
    0.3172607421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.996704016900207
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42064629} λ = -0.42064629}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.996704016900207))-π/2
    2×atan(2.70933716631713)-π/2
    2×1.21721357631028-π/2
    2.43442715262057-1.57079632675     		φ = 0.86363083
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42064629} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.101257°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86363083 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.482402°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56761 KachelY 44744 -0.42064629 0.86363083 -24.101257 49.482402
    Oben rechts KachelX + 1 56762 KachelY 44744 -0.42059836 0.86363083 -24.098511 49.482402
    Unten links KachelX 56761 KachelY + 1 44745 -0.42064629 0.86359968 -24.101257 49.480617
    Unten rechts KachelX + 1 56762 KachelY + 1 44745 -0.42059836 0.86359968 -24.098511 49.480617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86363083-0.86359968) × R
    3.11499999999798e-05 × 6371000     		dl = 198.456649999871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86363083-0.86359968) × R
    3.11499999999798e-05 × 6371000     		dr = 198.456649999871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42064629--0.42059836) × cos(0.86363083) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.649681576184229 × 6371000     		do = 198.388084957108m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42064629--0.42059836) × cos(0.86359968) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.649705256300003 × 6371000     		du = 198.395315965331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86363083)-sin(0.86359968))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649681576184229-0.649705256300003)×R²
    abs(-0.42059836--0.42064629)×2.36801157736943e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.36801157736943e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.36801157736943e-05×40589641000000     		ar = 39372.1522644996m²