Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5676 / 11868
↖ ↑ ↗
← S 62.552857°
W 55.283203°		 ← 1 126.18 m → S 62.552857°
W 55.261230°		 →
↑
1 125.95 m
↓
↑
1 125.95 m
↓
S 62.562983°
W 55.283203°		 ← 1 125.80 m →
1 267 804 m²		 S 62.562983°
W 55.261230°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5676 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11868 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346466064453125 y=0.724395751953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346466064453125 × 214)
    floor (0.346466064453125 × 16384)
    floor (5676.5)     		tx = 5676
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724395751953125 × 214)
    floor (0.724395751953125 × 16384)
    floor (11868.5)     		ty = 11868
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5676 / 11868 ti = "14/5676/11868"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5676/11868.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5676 ÷ 214
    5676 ÷ 16384     		x = 0.346435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11868 ÷ 214
    11868 ÷ 16384     		y = 0.724365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346435546875 × 2 - 1) × π
    -0.30712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.96487392
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724365234375 × 2 - 1) × π
    -0.44873046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.40972834402661
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96487392} λ = -0.96487392}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40972834402661))-π/2
    2×atan(0.244209615144001)-π/2
    2×0.239521508178663-π/2
    0.479043016357325-1.57079632675     		φ = -1.09175331
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96487392} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.283203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09175331 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.552857°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5676 KachelY 11868 -0.96487392 -1.09175331 -55.283203 -62.552857
    Oben rechts KachelX + 1 5677 KachelY 11868 -0.96449042 -1.09175331 -55.261230 -62.552857
    Unten links KachelX 5676 KachelY + 1 11869 -0.96487392 -1.09193004 -55.283203 -62.562983
    Unten rechts KachelX + 1 5677 KachelY + 1 11869 -0.96449042 -1.09193004 -55.261230 -62.562983
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09175331--1.09193004) × R
    0.000176729999999958 × 6371000     		dl = 1125.94682999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09175331--1.09193004) × R
    0.000176729999999958 × 6371000     		dr = 1125.94682999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96487392--0.96449042) × cos(-1.09175331) × R
    0.000383500000000092 × 0.460930124974375 × 6371000     		do = 1126.18066435247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96487392--0.96449042) × cos(-1.09193004) × R
    0.000383500000000092 × 0.460773281136429 × 6371000     		du = 1125.79745117536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09175331)-sin(-1.09193004))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.460930124974375-0.460773281136429)×R²
    abs(-0.96449042--0.96487392)×0.000156843837945175×R²
    0.000383500000000092×0.000156843837945175×6371000²
    0.000383500000000092×0.000156843837945175×40589641000000     		ar = 1267803.81350327m²