Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 56756 / 9284
↖ ↑ ↗
← N 77.984475°
E131.770020°		 ← 127.15 m → N 77.984475°
E131.775513°		 →
↑
127.17 m
↓
↑
127.17 m
↓
N 77.983332°
E131.770020°		 ← 127.16 m →
16 170 m²		 N 77.983332°
E131.775513°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56756 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9284 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.866035461425781 y=0.141670227050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.866035461425781 × 216)
    floor (0.866035461425781 × 65536)
    floor (56756.5)     		tx = 56756
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141670227050781 × 216)
    floor (0.141670227050781 × 65536)
    floor (9284.5)     		ty = 9284
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 56756 / 9284 ti = "16/56756/9284"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/56756/9284.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56756 ÷ 216
    56756 ÷ 65536     		x = 0.86602783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9284 ÷ 216
    9284 ÷ 65536     		y = 0.14166259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.86602783203125 × 2 - 1) × π
    0.7320556640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.29982070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14166259765625 × 2 - 1) × π
    0.7166748046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.2515003013548
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.29982070} λ = 2.29982070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2515003013548))-π/2
    2×atan(9.50198098262186)-π/2
    2×1.46594109298685-π/2
    2.93188218597369-1.57079632675     		φ = 1.36108586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.29982070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.770020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36108586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.984475°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56756 KachelY 9284 2.29982070 1.36108586 131.770020 77.984475
    Oben rechts KachelX + 1 56757 KachelY 9284 2.29991657 1.36108586 131.775513 77.984475
    Unten links KachelX 56756 KachelY + 1 9285 2.29982070 1.36106590 131.770020 77.983332
    Unten rechts KachelX + 1 56757 KachelY + 1 9285 2.29991657 1.36106590 131.775513 77.983332
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36108586-1.36106590) × R
    1.995999999993e-05 × 6371000     		dl = 127.165159999554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36108586-1.36106590) × R
    1.995999999993e-05 × 6371000     		dr = 127.165159999554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.29982070-2.29991657) × cos(1.36108586) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.208176718687084 × 6371000     		do = 127.151793772798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.29982070-2.29991657) × cos(1.36106590) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.20819624134656 × 6371000     		du = 127.163717974444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36108586)-sin(1.36106590))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208176718687084-0.20819624134656)×R²
    abs(2.29991657-2.29982070)×1.95226594763287e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.95226594763287e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.95226594763287e-05×40589641000000     		ar = 16170.036371434m²