Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 56755 / 9301
↖ ↑ ↗
← N 77.965019°
E131.764526°		 ← 127.37 m → N 77.965019°
E131.770020°		 →
↑
127.36 m
↓
↑
127.36 m
↓
N 77.963874°
E131.764526°		 ← 127.38 m →
16 222 m²		 N 77.963874°
E131.770020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56755 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9301 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.866020202636719 y=0.141929626464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.866020202636719 × 216)
    floor (0.866020202636719 × 65536)
    floor (56755.5)     		tx = 56755
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141929626464844 × 216)
    floor (0.141929626464844 × 65536)
    floor (9301.5)     		ty = 9301
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 56755 / 9301 ti = "16/56755/9301"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/56755/9301.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56755 ÷ 216
    56755 ÷ 65536     		x = 0.866012573242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9301 ÷ 216
    9301 ÷ 65536     		y = 0.141921997070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.866012573242188 × 2 - 1) × π
    0.732025146484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.29972482
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141921997070312 × 2 - 1) × π
    0.716156005859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.24987044676772
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.29972482} λ = 2.29972482}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24987044676772))-π/2
    2×atan(9.48650674913169)-π/2
    2×1.46577130880504-π/2
    2.93154261761008-1.57079632675     		φ = 1.36074629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.29972482} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.764526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36074629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.965019°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56755 KachelY 9301 2.29972482 1.36074629 131.764526 77.965019
    Oben rechts KachelX + 1 56756 KachelY 9301 2.29982070 1.36074629 131.770020 77.965019
    Unten links KachelX 56755 KachelY + 1 9302 2.29972482 1.36072630 131.764526 77.963874
    Unten rechts KachelX + 1 56756 KachelY + 1 9302 2.29982070 1.36072630 131.770020 77.963874
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36074629-1.36072630) × R
    1.99899999999698e-05 × 6371000     		dl = 127.356289999807m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36074629-1.36072630) × R
    1.99899999999698e-05 × 6371000     		dr = 127.356289999807m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.29972482-2.29982070) × cos(1.36074629) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.208508837117403 × 6371000     		do = 127.367931746751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.29972482-2.29982070) × cos(1.36072630) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.208528387705194 × 6371000     		du = 127.379874252238m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36074629)-sin(1.36072630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208508837117403-0.208528387705194)×R²
    abs(2.29982070-2.29972482)×1.95505877904623e-05×R²
    9.58800000003812e-05×1.95505877904623e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×1.95505877904623e-05×40589641000000     		ar = 16221.8677295655m²