Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 56753 / 9715
↖ ↑ ↗
← N 77.481516°
E131.753540°		 ← 132.40 m → N 77.481516°
E131.759033°		 →
↑
132.39 m
↓
↑
132.39 m
↓
N 77.480326°
E131.753540°		 ← 132.42 m →
17 530 m²		 N 77.480326°
E131.759033°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56753 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9715 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.865989685058594 y=0.148246765136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.865989685058594 × 216)
    floor (0.865989685058594 × 65536)
    floor (56753.5)     		tx = 56753
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148246765136719 × 216)
    floor (0.148246765136719 × 65536)
    floor (9715.5)     		ty = 9715
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 56753 / 9715 ti = "16/56753/9715"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/56753/9715.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56753 ÷ 216
    56753 ÷ 65536     		x = 0.865982055664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9715 ÷ 216
    9715 ÷ 65536     		y = 0.148239135742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.865982055664062 × 2 - 1) × π
    0.731964111328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.29953307
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148239135742188 × 2 - 1) × π
    0.703521728515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.21017869388231
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.29953307} λ = 2.29953307}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21017869388231))-π/2
    2×atan(9.11734546134054)-π/2
    2×1.46155195031671-π/2
    2.92310390063342-1.57079632675     		φ = 1.35230757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.29953307} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.753540°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35230757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.481516°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56753 KachelY 9715 2.29953307 1.35230757 131.753540 77.481516
    Oben rechts KachelX + 1 56754 KachelY 9715 2.29962895 1.35230757 131.759033 77.481516
    Unten links KachelX 56753 KachelY + 1 9716 2.29953307 1.35228679 131.753540 77.480326
    Unten rechts KachelX + 1 56754 KachelY + 1 9716 2.29962895 1.35228679 131.759033 77.480326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35230757-1.35228679) × R
    2.07800000000535e-05 × 6371000     		dl = 132.389380000341m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35230757-1.35228679) × R
    2.07800000000535e-05 × 6371000     		dr = 132.389380000341m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.29953307-2.29962895) × cos(1.35230757) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.216754556050597 × 6371000     		do = 132.404841360163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.29953307-2.29962895) × cos(1.35228679) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.216774841982838 × 6371000     		du = 132.417233051896m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35230757)-sin(1.35228679))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216754556050597-0.216774841982838)×R²
    abs(2.29962895-2.29953307)×2.02859322407101e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.02859322407101e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.02859322407101e-05×40589641000000     		ar = 17529.815121558m²