Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 56753 / 9713
↖ ↑ ↗
← N 77.483898°
E131.753540°		 ← 132.38 m → N 77.483898°
E131.759033°		 →
↑
132.39 m
↓
↑
132.39 m
↓
N 77.482707°
E131.753540°		 ← 132.39 m →
17 527 m²		 N 77.482707°
E131.759033°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56753 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9713 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.865989685058594 y=0.148216247558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.865989685058594 × 216)
    floor (0.865989685058594 × 65536)
    floor (56753.5)     		tx = 56753
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148216247558594 × 216)
    floor (0.148216247558594 × 65536)
    floor (9713.5)     		ty = 9713
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 56753 / 9713 ti = "16/56753/9713"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/56753/9713.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56753 ÷ 216
    56753 ÷ 65536     		x = 0.865982055664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9713 ÷ 216
    9713 ÷ 65536     		y = 0.148208618164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.865982055664062 × 2 - 1) × π
    0.731964111328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.29953307
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148208618164062 × 2 - 1) × π
    0.703582763671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.21037044148079
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.29953307} λ = 2.29953307}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21037044148079))-π/2
    2×atan(9.11909385805735)-π/2
    2×1.46157272945426-π/2
    2.92314545890852-1.57079632675     		φ = 1.35234913
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.29953307} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.753540°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35234913 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.483898°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56753 KachelY 9713 2.29953307 1.35234913 131.753540 77.483898
    Oben rechts KachelX + 1 56754 KachelY 9713 2.29962895 1.35234913 131.759033 77.483898
    Unten links KachelX 56753 KachelY + 1 9714 2.29953307 1.35232835 131.753540 77.482707
    Unten rechts KachelX + 1 56754 KachelY + 1 9714 2.29962895 1.35232835 131.759033 77.482707
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35234913-1.35232835) × R
    2.07799999998315e-05 × 6371000     		dl = 132.389379998926m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35234913-1.35232835) × R
    2.07799999998315e-05 × 6371000     		dr = 132.389379998926m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.29953307-2.29962895) × cos(1.35234913) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.216713983905335 × 6371000     		do = 132.380057805183m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.29953307-2.29962895) × cos(1.35232835) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.21673427002476 × 6371000     		du = 132.392449611257m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35234913)-sin(1.35232835))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216713983905335-0.21673427002476)×R²
    abs(2.29962895-2.29953307)×2.02861194246173e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.02861194246173e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.02861194246173e-05×40589641000000     		ar = 17526.5340495205m²