Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56750 / 44714
↖ ↑ ↗
← N 49.535904°
W 24.131470°		 ← 198.21 m → N 49.535904°
W 24.128723°		 →
↑
198.20 m
↓
↑
198.20 m
↓
N 49.534122°
W 24.131470°		 ← 198.22 m →
39 287 m²		 N 49.534122°
W 24.128723°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56750 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44714 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432971954345703 y=0.341144561767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432971954345703 × 217)
    floor (0.432971954345703 × 131072)
    floor (56750.5)     		tx = 56750
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341144561767578 × 217)
    floor (0.341144561767578 × 131072)
    floor (44714.5)     		ty = 44714
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56750 / 44714 ti = "17/56750/44714"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56750/44714.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56750 ÷ 217
    56750 ÷ 131072     		x = 0.432968139648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44714 ÷ 217
    44714 ÷ 131072     		y = 0.341140747070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432968139648438 × 2 - 1) × π
    -0.134063720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.42117360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341140747070312 × 2 - 1) × π
    0.317718505859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.998142123888809
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42117360} λ = -0.42117360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.998142123888809))-π/2
    2×atan(2.71323628603415)-π/2
    2×1.2176804767843-π/2
    2.4353609535686-1.57079632675     		φ = 0.86456463
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42117360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.131470°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86456463 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.535904°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56750 KachelY 44714 -0.42117360 0.86456463 -24.131470 49.535904
    Oben rechts KachelX + 1 56751 KachelY 44714 -0.42112566 0.86456463 -24.128723 49.535904
    Unten links KachelX 56750 KachelY + 1 44715 -0.42117360 0.86453352 -24.131470 49.534122
    Unten rechts KachelX + 1 56751 KachelY + 1 44715 -0.42112566 0.86453352 -24.128723 49.534122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86456463-0.86453352) × R
    3.11099999998898e-05 × 6371000     		dl = 198.201809999298m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86456463-0.86453352) × R
    3.11099999998898e-05 × 6371000     		dr = 198.201809999298m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42117360--0.42112566) × cos(0.86456463) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.648971412247135 × 6371000     		do = 198.212573824296m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42117360--0.42112566) × cos(0.86453352) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.648995080819076 × 6371000     		du = 198.219802815396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86456463)-sin(0.86453352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.648971412247135-0.648995080819076)×R²
    abs(-0.42112566--0.42117360)×2.36685719405827e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36685719405827e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36685719405827e-05×40589641000000     		ar = 39286.8072994312m²