Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56750 / 44304
↖ ↑ ↗
← N 50.261254°
W 24.131470°		 ← 195.26 m → N 50.261254°
W 24.128723°		 →
↑
195.27 m
↓
↑
195.27 m
↓
N 50.259498°
W 24.131470°		 ← 195.26 m →
38 128 m²		 N 50.259498°
W 24.128723°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56750 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432971954345703 y=0.338016510009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432971954345703 × 217)
    floor (0.432971954345703 × 131072)
    floor (56750.5)     		tx = 56750
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338016510009766 × 217)
    floor (0.338016510009766 × 131072)
    floor (44304.5)     		ty = 44304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56750 / 44304 ti = "17/56750/44304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56750/44304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56750 ÷ 217
    56750 ÷ 131072     		x = 0.432968139648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44304 ÷ 217
    44304 ÷ 131072     		y = 0.3380126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432968139648438 × 2 - 1) × π
    -0.134063720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.42117360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3380126953125 × 2 - 1) × π
    0.323974609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.01779625273303
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42117360} λ = -0.42117360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01779625273303))-π/2
    2×atan(2.76709007265146)-π/2
    2×1.22401034612413-π/2
    2.44802069224825-1.57079632675     		φ = 0.87722437
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42117360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.131470°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87722437 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.261254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56750 KachelY 44304 -0.42117360 0.87722437 -24.131470 50.261254
    Oben rechts KachelX + 1 56751 KachelY 44304 -0.42112566 0.87722437 -24.128723 50.261254
    Unten links KachelX 56750 KachelY + 1 44305 -0.42117360 0.87719372 -24.131470 50.259498
    Unten rechts KachelX + 1 56751 KachelY + 1 44305 -0.42112566 0.87719372 -24.128723 50.259498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87722437-0.87719372) × R
    3.06500000000209e-05 × 6371000     		dl = 195.271150000133m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87722437-0.87719372) × R
    3.06500000000209e-05 × 6371000     		dr = 195.271150000133m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42117360--0.42112566) × cos(0.87722437) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.639287973062668 × 6371000     		do = 195.255002245637m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42117360--0.42112566) × cos(0.87719372) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.639311541613696 × 6371000     		du = 195.262200687776m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87722437)-sin(0.87719372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639287973062668-0.639311541613696)×R²
    abs(-0.42112566--0.42117360)×2.35685510284744e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35685510284744e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35685510284744e-05×40589641000000     		ar = 38128.3716587808m²