Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 5675 / 11869
↖ ↑ ↗
← S 62.562983°
W 55.305176°		 ← 1 125.77 m → S 62.562983°
W 55.283203°		 →
↑
1 125.63 m
↓
↑
1 125.63 m
↓
S 62.573106°
W 55.305176°		 ← 1 125.38 m →
1 266 981 m²		 S 62.573106°
W 55.283203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5675 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11869 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346405029296875 y=0.724456787109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346405029296875 × 214)
    floor (0.346405029296875 × 16384)
    floor (5675.5)     		tx = 5675
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724456787109375 × 214)
    floor (0.724456787109375 × 16384)
    floor (11869.5)     		ty = 11869
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5675 / 11869 ti = "14/5675/11869"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5675/11869.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5675 ÷ 214
    5675 ÷ 16384     		x = 0.34637451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11869 ÷ 214
    11869 ÷ 16384     		y = 0.72442626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34637451171875 × 2 - 1) × π
    -0.3072509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.96525741
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72442626953125 × 2 - 1) × π
    -0.4488525390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.41011183922357
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96525741} λ = -0.96525741}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41011183922357))-π/2
    2×atan(0.244115979885026)-π/2
    2×0.239433140972419-π/2
    0.478866281944838-1.57079632675     		φ = -1.09193004
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96525741} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.305176°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09193004 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.562983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5675 KachelY 11869 -0.96525741 -1.09193004 -55.305176 -62.562983
    Oben rechts KachelX + 1 5676 KachelY 11869 -0.96487392 -1.09193004 -55.283203 -62.562983
    Unten links KachelX 5675 KachelY + 1 11870 -0.96525741 -1.09210672 -55.305176 -62.573106
    Unten rechts KachelX + 1 5676 KachelY + 1 11870 -0.96487392 -1.09210672 -55.283203 -62.573106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09193004--1.09210672) × R
    0.00017668000000004 × 6371000     		dl = 1125.62828000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09193004--1.09210672) × R
    0.00017668000000004 × 6371000     		dr = 1125.62828000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96525741--0.96487392) × cos(-1.09193004) × R
    0.000383489999999931 × 0.460773281136429 × 6371000     		do = 1125.76809530915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96525741--0.96487392) × cos(-1.09210672) × R
    0.000383489999999931 × 0.460616467286889 × 6371000     		du = 1125.38496539268m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09193004)-sin(-1.09210672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.460773281136429-0.460616467286889)×R²
    abs(-0.96487392--0.96525741)×0.000156813849539972×R²
    0.000383489999999931×0.000156813849539972×6371000²
    0.000383489999999931×0.000156813849539972×40589641000000     		ar = 1266980.77716393m²