Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 56748 / 9289
↖ ↑ ↗
← N 77.978756°
E131.726074°		 ← 127.21 m → N 77.978756°
E131.731567°		 →
↑
127.23 m
↓
↑
127.23 m
↓
N 77.977612°
E131.726074°		 ← 127.22 m →
16 186 m²		 N 77.977612°
E131.731567°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56748 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9289 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.865913391113281 y=0.141746520996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.865913391113281 × 216)
    floor (0.865913391113281 × 65536)
    floor (56748.5)     		tx = 56748
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141746520996094 × 216)
    floor (0.141746520996094 × 65536)
    floor (9289.5)     		ty = 9289
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 56748 / 9289 ti = "16/56748/9289"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/56748/9289.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56748 ÷ 216
    56748 ÷ 65536     		x = 0.86590576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9289 ÷ 216
    9289 ÷ 65536     		y = 0.141738891601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.86590576171875 × 2 - 1) × π
    0.7318115234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.29905371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141738891601562 × 2 - 1) × π
    0.716522216796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.2510209323586
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.29905371} λ = 2.29905371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2510209323586))-π/2
    2×atan(9.497427119114)-π/2
    2×1.46589118455512-π/2
    2.93178236911024-1.57079632675     		φ = 1.36098604
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.29905371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.726074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36098604 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.978756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56748 KachelY 9289 2.29905371 1.36098604 131.726074 77.978756
    Oben rechts KachelX + 1 56749 KachelY 9289 2.29914958 1.36098604 131.731567 77.978756
    Unten links KachelX 56748 KachelY + 1 9290 2.29905371 1.36096607 131.726074 77.977612
    Unten rechts KachelX + 1 56749 KachelY + 1 9290 2.29914958 1.36096607 131.731567 77.977612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36098604-1.36096607) × R
    1.99700000000913e-05 × 6371000     		dl = 127.228870000582m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36098604-1.36096607) × R
    1.99700000000913e-05 × 6371000     		dr = 127.228870000582m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.29905371-2.29914958) × cos(1.36098604) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.208274350716339 × 6371000     		do = 127.211426222228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.29905371-2.29914958) × cos(1.36096607) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.208293882741589 × 6371000     		du = 127.223356144374m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36098604)-sin(1.36096607))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208274350716339-0.208293882741589)×R²
    abs(2.29914958-2.29905371)×1.95320252498465e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.95320252498465e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.95320252498465e-05×40589641000000     		ar = 16185.72492491m²