Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56744 / 29352
↖ ↑ ↗
← N 69.983015°
W 24.147949°		 ← 104.55 m → N 69.983015°
W 24.145202°		 →
↑
104.55 m
↓
↑
104.55 m
↓
N 69.982075°
W 24.147949°		 ← 104.55 m →
10 930 m²		 N 69.982075°
W 24.145202°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56744 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29352 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432926177978516 y=0.223941802978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432926177978516 × 217)
    floor (0.432926177978516 × 131072)
    floor (56744.5)     		tx = 56744
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223941802978516 × 217)
    floor (0.223941802978516 × 131072)
    floor (29352.5)     		ty = 29352
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56744 / 29352 ti = "17/56744/29352"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56744/29352.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56744 ÷ 217
    56744 ÷ 131072     		x = 0.43292236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29352 ÷ 217
    29352 ÷ 131072     		y = 0.22393798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43292236328125 × 2 - 1) × π
    -0.1341552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.42146122
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22393798828125 × 2 - 1) × π
    0.5521240234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.73454877585211
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42146122} λ = -0.42146122}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73454877585211))-π/2
    2×atan(5.66637042370649)-π/2
    2×1.39611518039799-π/2
    2.79223036079598-1.57079632675     		φ = 1.22143403
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42146122} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.147949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22143403 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.983015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56744 KachelY 29352 -0.42146122 1.22143403 -24.147949 69.983015
    Oben rechts KachelX + 1 56745 KachelY 29352 -0.42141328 1.22143403 -24.145202 69.983015
    Unten links KachelX 56744 KachelY + 1 29353 -0.42146122 1.22141762 -24.147949 69.982075
    Unten rechts KachelX + 1 56745 KachelY + 1 29353 -0.42141328 1.22141762 -24.145202 69.982075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22143403-1.22141762) × R
    1.64099999999667e-05 × 6371000     		dl = 104.548109999788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22143403-1.22141762) × R
    1.64099999999667e-05 × 6371000     		dr = 104.548109999788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42146122--0.42141328) × cos(1.22143403) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.342298696783953 × 6371000     		do = 104.546832766327m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42146122--0.42141328) × cos(1.22141762) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.342314115429273 × 6371000     		du = 104.551542017483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22143403)-sin(1.22141762))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342298696783953-0.342314115429273)×R²
    abs(-0.42141328--0.42146122)×1.54186453199534e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.54186453199534e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.54186453199534e-05×40589641000000     		ar = 10930.4199440593m²