Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56742 / 29356
↖ ↑ ↗
← N 69.979254°
W 24.153443°		 ← 104.57 m → N 69.979254°
W 24.150696°		 →
↑
104.55 m
↓
↑
104.55 m
↓
N 69.978314°
W 24.153443°		 ← 104.57 m →
10 932 m²		 N 69.978314°
W 24.150696°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56742 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29356 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432910919189453 y=0.223972320556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432910919189453 × 217)
    floor (0.432910919189453 × 131072)
    floor (56742.5)     		tx = 56742
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223972320556641 × 217)
    floor (0.223972320556641 × 131072)
    floor (29356.5)     		ty = 29356
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56742 / 29356 ti = "17/56742/29356"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56742/29356.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56742 ÷ 217
    56742 ÷ 131072     		x = 0.432907104492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29356 ÷ 217
    29356 ÷ 131072     		y = 0.223968505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432907104492188 × 2 - 1) × π
    -0.134185791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.42155710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.223968505859375 × 2 - 1) × π
    0.55206298828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.73435702825363
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42155710} λ = -0.42155710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73435702825363))-π/2
    2×atan(5.66528401494711)-π/2
    2×1.39608235996539-π/2
    2.79216471993079-1.57079632675     		φ = 1.22136839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42155710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.153443°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22136839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.979254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56742 KachelY 29356 -0.42155710 1.22136839 -24.153443 69.979254
    Oben rechts KachelX + 1 56743 KachelY 29356 -0.42150916 1.22136839 -24.150696 69.979254
    Unten links KachelX 56742 KachelY + 1 29357 -0.42155710 1.22135198 -24.153443 69.978314
    Unten rechts KachelX + 1 56743 KachelY + 1 29357 -0.42150916 1.22135198 -24.150696 69.978314
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22136839-1.22135198) × R
    1.64100000001888e-05 × 6371000     		dl = 104.548110001203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22136839-1.22135198) × R
    1.64100000001888e-05 × 6371000     		dr = 104.548110001203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42155710--0.42150916) × cos(1.22136839) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.342360370812129 × 6371000     		do = 104.565669602021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42155710--0.42150916) × cos(1.22135198) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.3423757890887 × 6371000     		du = 104.570378740553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22136839)-sin(1.22135198))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342360370812129-0.3423757890887)×R²
    abs(-0.42150916--0.42155710)×1.54182765708111e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.54182765708111e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.54182765708111e-05×40589641000000     		ar = 10932.3892939312m²