Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56741 / 84021
↖ ↑ ↗
← S 45.191715°
W 24.156189°		 ← 215.20 m → S 45.191715°
W 24.153443°		 →
↑
215.28 m
↓
↑
215.28 m
↓
S 45.193652°
W 24.156189°		 ← 215.19 m →
46 327 m²		 S 45.193652°
W 24.153443°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56741 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84021 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432903289794922 y=0.641033172607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432903289794922 × 217)
    floor (0.432903289794922 × 131072)
    floor (56741.5)     		tx = 56741
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641033172607422 × 217)
    floor (0.641033172607422 × 131072)
    floor (84021.5)     		ty = 84021
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56741 / 84021 ti = "17/56741/84021"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56741/84021.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56741 ÷ 217
    56741 ÷ 131072     		x = 0.432899475097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84021 ÷ 217
    84021 ÷ 131072     		y = 0.641029357910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432899475097656 × 2 - 1) × π
    -0.134201049804688 × 3.1415926535     		Λ = -0.42160503
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641029357910156 × 2 - 1) × π
    -0.282058715820312 × 3.1415926535     		Φ = -0.886113589476738
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42160503} λ = -0.42160503}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.886113589476738))-π/2
    2×atan(0.412254834923433)-π/2
    2×0.391026046200979-π/2
    0.782052092401958-1.57079632675     		φ = -0.78874423
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42160503} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.156189°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78874423 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.191715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56741 KachelY 84021 -0.42160503 -0.78874423 -24.156189 -45.191715
    Oben rechts KachelX + 1 56742 KachelY 84021 -0.42155710 -0.78874423 -24.153443 -45.191715
    Unten links KachelX 56741 KachelY + 1 84022 -0.42160503 -0.78877802 -24.156189 -45.193652
    Unten rechts KachelX + 1 56742 KachelY + 1 84022 -0.42155710 -0.78877802 -24.153443 -45.193652
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78874423--0.78877802) × R
    3.37899999999225e-05 × 6371000     		dl = 215.276089999506m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78874423--0.78877802) × R
    3.37899999999225e-05 × 6371000     		dr = 215.276089999506m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42160503--0.42155710) × cos(-0.78874423) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.704736800779407 × 6371000     		do = 215.199860101588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42160503--0.42155710) × cos(-0.78877802) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.704712827424827 × 6371000     		du = 215.192539549367m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78874423)-sin(-0.78877802))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.704736800779407-0.704712827424827)×R²
    abs(-0.42155710--0.42160503)×2.39733545799314e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.39733545799314e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.39733545799314e-05×40589641000000     		ar = 46326.5964856991m²