Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56741 / 29315
↖ ↑ ↗
← N 70.017772°
W 24.156189°		 ← 104.35 m → N 70.017772°
W 24.153443°		 →
↑
104.36 m
↓
↑
104.36 m
↓
N 70.016833°
W 24.156189°		 ← 104.36 m →
10 890 m²		 N 70.016833°
W 24.153443°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56741 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29315 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432903289794922 y=0.223659515380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432903289794922 × 217)
    floor (0.432903289794922 × 131072)
    floor (56741.5)     		tx = 56741
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223659515380859 × 217)
    floor (0.223659515380859 × 131072)
    floor (29315.5)     		ty = 29315
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56741 / 29315 ti = "17/56741/29315"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56741/29315.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56741 ÷ 217
    56741 ÷ 131072     		x = 0.432899475097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29315 ÷ 217
    29315 ÷ 131072     		y = 0.223655700683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432899475097656 × 2 - 1) × π
    -0.134201049804688 × 3.1415926535     		Λ = -0.42160503
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.223655700683594 × 2 - 1) × π
    0.552688598632812 × 3.1415926535     		Φ = 1.73632244113805
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42160503} λ = -0.42160503}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73632244113805))-π/2
    2×atan(5.67642958638104)-π/2
    2×1.39641848922863-π/2
    2.79283697845726-1.57079632675     		φ = 1.22204065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42160503} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.156189°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22204065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.017772°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56741 KachelY 29315 -0.42160503 1.22204065 -24.156189 70.017772
    Oben rechts KachelX + 1 56742 KachelY 29315 -0.42155710 1.22204065 -24.153443 70.017772
    Unten links KachelX 56741 KachelY + 1 29316 -0.42160503 1.22202427 -24.156189 70.016833
    Unten rechts KachelX + 1 56742 KachelY + 1 29316 -0.42155710 1.22202427 -24.153443 70.016833
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22204065-1.22202427) × R
    1.63800000001491e-05 × 6371000     		dl = 104.35698000095m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22204065-1.22202427) × R
    1.63800000001491e-05 × 6371000     		dr = 104.35698000095m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42160503--0.42155710) × cos(1.22204065) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.34172865903105 × 6371000     		do = 104.350957030842m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42160503--0.42155710) × cos(1.22202427) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.341744052887277 × 6371000     		du = 104.355657730029m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22204065)-sin(1.22202427))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34172865903105-0.341744052887277)×R²
    abs(-0.42155710--0.42160503)×1.53938562262868e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.53938562262868e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.53938562262868e-05×40589641000000     		ar = 10889.9960117343m²