Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 56740 / 9338
↖ ↑ ↗
← N 77.922567°
E131.682129°		 ← 127.80 m → N 77.922567°
E131.687622°		 →
↑
127.80 m
↓
↑
127.80 m
↓
N 77.921418°
E131.682129°		 ← 127.81 m →
16 334 m²		 N 77.921418°
E131.687622°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56740 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9338 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.865791320800781 y=0.142494201660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.865791320800781 × 216)
    floor (0.865791320800781 × 65536)
    floor (56740.5)     		tx = 56740
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142494201660156 × 216)
    floor (0.142494201660156 × 65536)
    floor (9338.5)     		ty = 9338
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 56740 / 9338 ti = "16/56740/9338"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/56740/9338.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56740 ÷ 216
    56740 ÷ 65536     		x = 0.86578369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9338 ÷ 216
    9338 ÷ 65536     		y = 0.142486572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.86578369140625 × 2 - 1) × π
    0.7315673828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.29828672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142486572265625 × 2 - 1) × π
    0.71502685546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.24632311619583
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.29828672} λ = 2.29828672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24632311619583))-π/2
    2×atan(9.45291459019203)-π/2
    2×1.46540084168338-π/2
    2.93080168336676-1.57079632675     		φ = 1.36000536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.29828672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.682129°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36000536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.922567°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56740 KachelY 9338 2.29828672 1.36000536 131.682129 77.922567
    Oben rechts KachelX + 1 56741 KachelY 9338 2.29838259 1.36000536 131.687622 77.922567
    Unten links KachelX 56740 KachelY + 1 9339 2.29828672 1.35998530 131.682129 77.921418
    Unten rechts KachelX + 1 56741 KachelY + 1 9339 2.29838259 1.35998530 131.687622 77.921418
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36000536-1.35998530) × R
    2.00599999999884e-05 × 6371000     		dl = 127.802259999926m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36000536-1.35998530) × R
    2.00599999999884e-05 × 6371000     		dr = 127.802259999926m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.29828672-2.29838259) × cos(1.36000536) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.209233424534145 × 6371000     		do = 127.797216780671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.29828672-2.29838259) × cos(1.35998530) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.209253040478467 × 6371000     		du = 127.80919795956m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36000536)-sin(1.35998530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209233424534145-0.209253040478467)×R²
    abs(2.29838259-2.29828672)×1.96159443227872e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.96159443227872e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.96159443227872e-05×40589641000000     		ar = 16333.5387375463m²