Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 56738 / 9339
↖ ↑ ↗
← N 77.921418°
E131.671143°		 ← 127.81 m → N 77.921418°
E131.676636°		 →
↑
127.87 m
↓
↑
127.87 m
↓
N 77.920268°
E131.671143°		 ← 127.82 m →
16 343 m²		 N 77.920268°
E131.676636°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56738 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9339 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.865760803222656 y=0.142509460449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.865760803222656 × 216)
    floor (0.865760803222656 × 65536)
    floor (56738.5)     		tx = 56738
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142509460449219 × 216)
    floor (0.142509460449219 × 65536)
    floor (9339.5)     		ty = 9339
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 56738 / 9339 ti = "16/56738/9339"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/56738/9339.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56738 ÷ 216
    56738 ÷ 65536     		x = 0.865753173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9339 ÷ 216
    9339 ÷ 65536     		y = 0.142501831054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.865753173828125 × 2 - 1) × π
    0.73150634765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.29809497
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142501831054688 × 2 - 1) × π
    0.714996337890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.24622724239659
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.29809497} λ = 2.29809497}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24622724239659))-π/2
    2×atan(9.45200834679957)-π/2
    2×1.46539081121137-π/2
    2.93078162242274-1.57079632675     		φ = 1.35998530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.29809497} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.671143°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35998530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.921418°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56738 KachelY 9339 2.29809497 1.35998530 131.671143 77.921418
    Oben rechts KachelX + 1 56739 KachelY 9339 2.29819084 1.35998530 131.676636 77.921418
    Unten links KachelX 56738 KachelY + 1 9340 2.29809497 1.35996523 131.671143 77.920268
    Unten rechts KachelX + 1 56739 KachelY + 1 9340 2.29819084 1.35996523 131.676636 77.920268
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35998530-1.35996523) × R
    2.00699999999276e-05 × 6371000     		dl = 127.865969999539m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35998530-1.35996523) × R
    2.00699999999276e-05 × 6371000     		dr = 127.865969999539m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.29809497-2.29819084) × cos(1.35998530) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.209253040478467 × 6371000     		do = 127.80919795956m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.29809497-2.29819084) × cos(1.35996523) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.209272666117159 × 6371000     		du = 127.821185059651m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35998530)-sin(1.35996523))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209253040478467-0.209272666117159)×R²
    abs(2.29819084-2.29809497)×1.9625638691817e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.9625638691817e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.9625638691817e-05×40589641000000     		ar = 16343.2134437511m²