Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 56738 / 9303
↖ ↑ ↗
← N 77.962729°
E131.671143°		 ← 127.38 m → N 77.962729°
E131.676636°		 →
↑
127.42 m
↓
↑
127.42 m
↓
N 77.961583°
E131.671143°		 ← 127.39 m →
16 231 m²		 N 77.961583°
E131.676636°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56738 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9303 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.865760803222656 y=0.141960144042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.865760803222656 × 216)
    floor (0.865760803222656 × 65536)
    floor (56738.5)     		tx = 56738
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141960144042969 × 216)
    floor (0.141960144042969 × 65536)
    floor (9303.5)     		ty = 9303
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 56738 / 9303 ti = "16/56738/9303"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/56738/9303.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56738 ÷ 216
    56738 ÷ 65536     		x = 0.865753173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9303 ÷ 216
    9303 ÷ 65536     		y = 0.141952514648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.865753173828125 × 2 - 1) × π
    0.73150634765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.29809497
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141952514648438 × 2 - 1) × π
    0.716094970703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.24967869916924
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.29809497} λ = 2.29809497}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24967869916924))-π/2
    2×atan(9.4846879086293)-π/2
    2×1.46575131639617-π/2
    2.93150263279235-1.57079632675     		φ = 1.36070631
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.29809497} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.671143°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36070631 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.962729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56738 KachelY 9303 2.29809497 1.36070631 131.671143 77.962729
    Oben rechts KachelX + 1 56739 KachelY 9303 2.29819084 1.36070631 131.676636 77.962729
    Unten links KachelX 56738 KachelY + 1 9304 2.29809497 1.36068631 131.671143 77.961583
    Unten rechts KachelX + 1 56739 KachelY + 1 9304 2.29819084 1.36068631 131.676636 77.961583
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36070631-1.36068631) × R
    2.0000000000131e-05 × 6371000     		dl = 127.420000000835m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36070631-1.36068631) × R
    2.0000000000131e-05 × 6371000     		dr = 127.420000000835m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.29809497-2.29819084) × cos(1.36070631) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.208547938209656 × 6371000     		do = 127.378530117171m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.29809497-2.29819084) × cos(1.36068631) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.208567498410863 × 6371000     		du = 127.390477248847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36070631)-sin(1.36068631))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208547938209656-0.208567498410863)×R²
    abs(2.29819084-2.29809497)×1.95602012066365e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.95602012066365e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.95602012066365e-05×40589641000000     		ar = 16231.3334598536m²