Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56738 / 84023
↖ ↑ ↗
← S 45.195587°
W 24.164429°		 ← 215.19 m → S 45.195587°
W 24.161682°		 →
↑
215.21 m
↓
↑
215.21 m
↓
S 45.197522°
W 24.164429°		 ← 215.18 m →
46 310 m²		 S 45.197522°
W 24.161682°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56738 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84023 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432880401611328 y=0.641048431396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432880401611328 × 217)
    floor (0.432880401611328 × 131072)
    floor (56738.5)     		tx = 56738
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641048431396484 × 217)
    floor (0.641048431396484 × 131072)
    floor (84023.5)     		ty = 84023
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56738 / 84023 ti = "17/56738/84023"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56738/84023.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56738 ÷ 217
    56738 ÷ 131072     		x = 0.432876586914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84023 ÷ 217
    84023 ÷ 131072     		y = 0.641044616699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432876586914062 × 2 - 1) × π
    -0.134246826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.42174884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641044616699219 × 2 - 1) × π
    -0.282089233398438 × 3.1415926535     		Φ = -0.886209463275978
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42174884} λ = -0.42174884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.886209463275978))-π/2
    2×atan(0.412215312380772)-π/2
    2×0.390992264452798-π/2
    0.781984528905596-1.57079632675     		φ = -0.78881180
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42174884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.164429°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78881180 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.195587°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56738 KachelY 84023 -0.42174884 -0.78881180 -24.164429 -45.195587
    Oben rechts KachelX + 1 56739 KachelY 84023 -0.42170091 -0.78881180 -24.161682 -45.195587
    Unten links KachelX 56738 KachelY + 1 84024 -0.42174884 -0.78884558 -24.164429 -45.197522
    Unten rechts KachelX + 1 56739 KachelY + 1 84024 -0.42170091 -0.78884558 -24.161682 -45.197522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78881180--0.78884558) × R
    3.37800000000943e-05 × 6371000     		dl = 215.212380000601m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78881180--0.78884558) × R
    3.37800000000943e-05 × 6371000     		dr = 215.212380000601m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42174884--0.42170091) × cos(-0.78881180) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.704688860360796 × 6371000     		do = 215.185220918291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42174884--0.42170091) × cos(-0.78884558) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.704664892492653 × 6371000     		du = 215.17790204142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78881180)-sin(-0.78884558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.704688860360796-0.704664892492653)×R²
    abs(-0.42170091--0.42174884)×2.39678681436262e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39678681436262e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39678681436262e-05×40589641000000     		ar = 46309.7359826679m²