Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56736 / 44705
↖ ↑ ↗
← N 49.551944°
W 24.169922°		 ← 198.15 m → N 49.551944°
W 24.167175°		 →
↑
198.14 m
↓
↑
198.14 m
↓
N 49.550162°
W 24.169922°		 ← 198.15 m →
39 261 m²		 N 49.550162°
W 24.167175°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44705 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432865142822266 y=0.341075897216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432865142822266 × 217)
    floor (0.432865142822266 × 131072)
    floor (56736.5)     		tx = 56736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341075897216797 × 217)
    floor (0.341075897216797 × 131072)
    floor (44705.5)     		ty = 44705
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56736 / 44705 ti = "17/56736/44705"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56736/44705.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56736 ÷ 217
    56736 ÷ 131072     		x = 0.432861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44705 ÷ 217
    44705 ÷ 131072     		y = 0.341072082519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432861328125 × 2 - 1) × π
    -0.13427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.42184472
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341072082519531 × 2 - 1) × π
    0.317855834960938 × 3.1415926535     		Φ = 0.99857355598539
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42184472} λ = -0.42184472}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.99857355598539))-π/2
    2×atan(2.71440711580216)-π/2
    2×1.21782044735834-π/2
    2.43564089471669-1.57079632675     		φ = 0.86484457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42184472} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.169922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86484457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.551944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56736 KachelY 44705 -0.42184472 0.86484457 -24.169922 49.551944
    Oben rechts KachelX + 1 56737 KachelY 44705 -0.42179678 0.86484457 -24.167175 49.551944
    Unten links KachelX 56736 KachelY + 1 44706 -0.42184472 0.86481347 -24.169922 49.550162
    Unten rechts KachelX + 1 56737 KachelY + 1 44706 -0.42179678 0.86481347 -24.167175 49.550162
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86484457-0.86481347) × R
    3.11000000000616e-05 × 6371000     		dl = 198.138100000393m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86484457-0.86481347) × R
    3.11000000000616e-05 × 6371000     		dr = 198.138100000393m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42184472--0.42179678) × cos(0.86484457) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.64875840488785 × 6371000     		do = 198.147515894191m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42184472--0.42179678) × cos(0.86481347) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.648782071501072 × 6371000     		du = 198.154744287047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86484457)-sin(0.86481347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64875840488785-0.648782071501072)×R²
    abs(-0.42179678--0.42184472)×2.36666132225061e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36666132225061e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36666132225061e-05×40589641000000     		ar = 39261.2884323657m²