Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56735 / 83997
↖ ↑ ↗
← S 45.145242°
W 24.172668°		 ← 215.38 m → S 45.145242°
W 24.169922°		 →
↑
215.40 m
↓
↑
215.40 m
↓
S 45.147179°
W 24.172668°		 ← 215.37 m →
46 392 m²		 S 45.147179°
W 24.169922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56735 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83997 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432857513427734 y=0.640850067138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432857513427734 × 217)
    floor (0.432857513427734 × 131072)
    floor (56735.5)     		tx = 56735
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640850067138672 × 217)
    floor (0.640850067138672 × 131072)
    floor (83997.5)     		ty = 83997
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56735 / 83997 ti = "17/56735/83997"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56735/83997.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56735 ÷ 217
    56735 ÷ 131072     		x = 0.432853698730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83997 ÷ 217
    83997 ÷ 131072     		y = 0.640846252441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432853698730469 × 2 - 1) × π
    -0.134292602539062 × 3.1415926535     		Λ = -0.42189265
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640846252441406 × 2 - 1) × π
    -0.281692504882812 × 3.1415926535     		Φ = -0.884963103885857
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42189265} λ = -0.42189265}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.884963103885857))-π/2
    2×atan(0.412729401109218)-π/2
    2×0.391431606415511-π/2
    0.782863212831021-1.57079632675     		φ = -0.78793311
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42189265} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.172668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78793311 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.145242°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56735 KachelY 83997 -0.42189265 -0.78793311 -24.172668 -45.145242
    Oben rechts KachelX + 1 56736 KachelY 83997 -0.42184472 -0.78793311 -24.169922 -45.145242
    Unten links KachelX 56735 KachelY + 1 83998 -0.42189265 -0.78796692 -24.172668 -45.147179
    Unten rechts KachelX + 1 56736 KachelY + 1 83998 -0.42184472 -0.78796692 -24.169922 -45.147179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78793311--0.78796692) × R
    3.3810000000023e-05 × 6371000     		dl = 215.403510000146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78793311--0.78796692) × R
    3.3810000000023e-05 × 6371000     		dr = 215.403510000146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42189265--0.42184472) × cos(-0.78793311) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.705312033256961 × 6371000     		do = 215.375514258655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42189265--0.42184472) × cos(-0.78796692) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.705288065046766 × 6371000     		du = 215.368195277335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78793311)-sin(-0.78796692))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.705312033256961-0.705288065046766)×R²
    abs(-0.42184472--0.42189265)×2.39682101945693e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.39682101945693e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.39682101945693e-05×40589641000000     		ar = 46391.853476687m²