Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56734 / 83998
↖ ↑ ↗
← S 45.147179°
W 24.175415°		 ← 215.41 m → S 45.147179°
W 24.172668°		 →
↑
215.40 m
↓
↑
215.40 m
↓
S 45.149116°
W 24.175415°		 ← 215.41 m →
46 400 m²		 S 45.149116°
W 24.172668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56734 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83998 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432849884033203 y=0.640857696533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432849884033203 × 217)
    floor (0.432849884033203 × 131072)
    floor (56734.5)     		tx = 56734
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640857696533203 × 217)
    floor (0.640857696533203 × 131072)
    floor (83998.5)     		ty = 83998
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56734 / 83998 ti = "17/56734/83998"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56734/83998.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56734 ÷ 217
    56734 ÷ 131072     		x = 0.432846069335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83998 ÷ 217
    83998 ÷ 131072     		y = 0.640853881835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432846069335938 × 2 - 1) × π
    -0.134307861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.42194059
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640853881835938 × 2 - 1) × π
    -0.281707763671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.885011040785477
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42194059} λ = -0.42194059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.885011040785477))-π/2
    2×atan(0.412709616615554)-π/2
    2×0.391414701466748-π/2
    0.782829402933496-1.57079632675     		φ = -0.78796692
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42194059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.175415°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78796692 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.147179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56734 KachelY 83998 -0.42194059 -0.78796692 -24.175415 -45.147179
    Oben rechts KachelX + 1 56735 KachelY 83998 -0.42189265 -0.78796692 -24.172668 -45.147179
    Unten links KachelX 56734 KachelY + 1 83999 -0.42194059 -0.78800073 -24.175415 -45.149116
    Unten rechts KachelX + 1 56735 KachelY + 1 83999 -0.42189265 -0.78800073 -24.172668 -45.149116
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78796692--0.78800073) × R
    3.3810000000023e-05 × 6371000     		dl = 215.403510000146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78796692--0.78800073) × R
    3.3810000000023e-05 × 6371000     		dr = 215.403510000146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42194059--0.42189265) × cos(-0.78796692) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.705288065046766 × 6371000     		do = 215.413129180185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42194059--0.42189265) × cos(-0.78800073) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.705264096030346 × 6371000     		du = 215.405808425608m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78796692)-sin(-0.78800073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.705288065046766-0.705264096030346)×R²
    abs(-0.42189265--0.42194059)×2.39690164207662e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39690164207662e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39690164207662e-05×40589641000000     		ar = 46399.9556717157m²