Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56734 / 44706
↖ ↑ ↗
← N 49.550162°
W 24.175415°		 ← 198.15 m → N 49.550162°
W 24.172668°		 →
↑
198.14 m
↓
↑
198.14 m
↓
N 49.548380°
W 24.175415°		 ← 198.16 m →
39 263 m²		 N 49.548380°
W 24.172668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56734 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44706 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432849884033203 y=0.341083526611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432849884033203 × 217)
    floor (0.432849884033203 × 131072)
    floor (56734.5)     		tx = 56734
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341083526611328 × 217)
    floor (0.341083526611328 × 131072)
    floor (44706.5)     		ty = 44706
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56734 / 44706 ti = "17/56734/44706"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56734/44706.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56734 ÷ 217
    56734 ÷ 131072     		x = 0.432846069335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44706 ÷ 217
    44706 ÷ 131072     		y = 0.341079711914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432846069335938 × 2 - 1) × π
    -0.134307861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.42194059
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341079711914062 × 2 - 1) × π
    0.317840576171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.99852561908577
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42194059} λ = -0.42194059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.99852561908577))-π/2
    2×atan(2.71427699865945)-π/2
    2×1.21780489734141-π/2
    2.43560979468283-1.57079632675     		φ = 0.86481347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42194059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.175415°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86481347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.550162°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56734 KachelY 44706 -0.42194059 0.86481347 -24.175415 49.550162
    Oben rechts KachelX + 1 56735 KachelY 44706 -0.42189265 0.86481347 -24.172668 49.550162
    Unten links KachelX 56734 KachelY + 1 44707 -0.42194059 0.86478237 -24.175415 49.548380
    Unten rechts KachelX + 1 56735 KachelY + 1 44707 -0.42189265 0.86478237 -24.172668 49.548380
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86481347-0.86478237) × R
    3.10999999999506e-05 × 6371000     		dl = 198.138099999685m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86481347-0.86478237) × R
    3.10999999999506e-05 × 6371000     		dr = 198.138099999685m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42194059--0.42189265) × cos(0.86481347) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.648782071501072 × 6371000     		do = 198.154744287047m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42194059--0.42189265) × cos(0.86478237) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.648805737486786 × 6371000     		du = 198.161972488247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86481347)-sin(0.86478237))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.648782071501072-0.648805737486786)×R²
    abs(-0.42189265--0.42194059)×2.36659857139054e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36659857139054e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36659857139054e-05×40589641000000     		ar = 39262.7206329664m²