Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56732 / 84246
↖ ↑ ↗
← S 45.625564°
W 24.180908°		 ← 213.55 m → S 45.625564°
W 24.178162°		 →
↑
213.56 m
↓
↑
213.56 m
↓
S 45.627484°
W 24.180908°		 ← 213.55 m →
45 605 m²		 S 45.627484°
W 24.178162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56732 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84246 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432834625244141 y=0.642749786376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432834625244141 × 217)
    floor (0.432834625244141 × 131072)
    floor (56732.5)     		tx = 56732
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642749786376953 × 217)
    floor (0.642749786376953 × 131072)
    floor (84246.5)     		ty = 84246
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56732 / 84246 ti = "17/56732/84246"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56732/84246.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56732 ÷ 217
    56732 ÷ 131072     		x = 0.432830810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84246 ÷ 217
    84246 ÷ 131072     		y = 0.642745971679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432830810546875 × 2 - 1) × π
    -0.13433837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.42203646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642745971679688 × 2 - 1) × π
    -0.285491943359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.896899391891251
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42203646} λ = -0.42203646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.896899391891251))-π/2
    2×atan(0.407832229279533)-π/2
    2×0.387240010869206-π/2
    0.774480021738411-1.57079632675     		φ = -0.79631631
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42203646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.180908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79631631 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.625564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56732 KachelY 84246 -0.42203646 -0.79631631 -24.180908 -45.625564
    Oben rechts KachelX + 1 56733 KachelY 84246 -0.42198853 -0.79631631 -24.178162 -45.625564
    Unten links KachelX 56732 KachelY + 1 84247 -0.42203646 -0.79634983 -24.180908 -45.627484
    Unten rechts KachelX + 1 56733 KachelY + 1 84247 -0.42198853 -0.79634983 -24.178162 -45.627484
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79631631--0.79634983) × R
    3.35200000000091e-05 × 6371000     		dl = 213.555920000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79631631--0.79634983) × R
    3.35200000000091e-05 × 6371000     		dr = 213.555920000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42203646--0.42198853) × cos(-0.79631631) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.699344493828762 × 6371000     		do = 213.553254305004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42203646--0.42198853) × cos(-0.79634983) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.699320533850117 × 6371000     		du = 213.545937837286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79631631)-sin(-0.79634983))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.699344493828762-0.699320533850117)×R²
    abs(-0.42198853--0.42203646)×2.39599786445721e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39599786445721e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39599786445721e-05×40589641000000     		ar = 45604.7804588742m²