Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56731 / 85685
↖ ↑ ↗
← S 48.321560°
W 24.183655°		 ← 203.09 m → S 48.321560°
W 24.180908°		 →
↑
203.04 m
↓
↑
203.04 m
↓
S 48.323386°
W 24.183655°		 ← 203.09 m →
41 236 m²		 S 48.323386°
W 24.180908°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56731 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85685 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432826995849609 y=0.653728485107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432826995849609 × 217)
    floor (0.432826995849609 × 131072)
    floor (56731.5)     		tx = 56731
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653728485107422 × 217)
    floor (0.653728485107422 × 131072)
    floor (85685.5)     		ty = 85685
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56731 / 85685 ti = "17/56731/85685"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56731/85685.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56731 ÷ 217
    56731 ÷ 131072     		x = 0.432823181152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85685 ÷ 217
    85685 ÷ 131072     		y = 0.653724670410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432823181152344 × 2 - 1) × π
    -0.134353637695312 × 3.1415926535     		Λ = -0.42208440
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653724670410156 × 2 - 1) × π
    -0.307449340820312 × 3.1415926535     		Φ = -0.965880590444511
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42208440} λ = -0.42208440}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.965880590444511))-π/2
    2×atan(0.380647857245495)-π/2
    2×0.363712998969142-π/2
    0.727425997938284-1.57079632675     		φ = -0.84337033
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42208440} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.183655°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84337033 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.321560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56731 KachelY 85685 -0.42208440 -0.84337033 -24.183655 -48.321560
    Oben rechts KachelX + 1 56732 KachelY 85685 -0.42203646 -0.84337033 -24.180908 -48.321560
    Unten links KachelX 56731 KachelY + 1 85686 -0.42208440 -0.84340220 -24.183655 -48.323386
    Unten rechts KachelX + 1 56732 KachelY + 1 85686 -0.42203646 -0.84340220 -24.180908 -48.323386
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84337033--0.84340220) × R
    3.18700000000449e-05 × 6371000     		dl = 203.043770000286m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84337033--0.84340220) × R
    3.18700000000449e-05 × 6371000     		dr = 203.043770000286m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42208440--0.42203646) × cos(-0.84337033) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.664949346653077 × 6371000     		do = 203.092646264134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42208440--0.42203646) × cos(-0.84340220) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.66492554298028 × 6371000     		du = 203.085376009756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84337033)-sin(-0.84340220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664949346653077-0.66492554298028)×R²
    abs(-0.42203646--0.42208440)×2.38036727967517e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38036727967517e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38036727967517e-05×40589641000000     		ar = 41235.958470402m²