Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56729 / 29336
↖ ↑ ↗
← N 69.998052°
W 24.189148°		 ← 104.45 m → N 69.998052°
W 24.186401°		 →
↑
104.48 m
↓
↑
104.48 m
↓
N 69.997113°
W 24.189148°		 ← 104.45 m →
10 914 m²		 N 69.997113°
W 24.186401°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56729 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29336 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432811737060547 y=0.223819732666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432811737060547 × 217)
    floor (0.432811737060547 × 131072)
    floor (56729.5)     		tx = 56729
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223819732666016 × 217)
    floor (0.223819732666016 × 131072)
    floor (29336.5)     		ty = 29336
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56729 / 29336 ti = "17/56729/29336"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56729/29336.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56729 ÷ 217
    56729 ÷ 131072     		x = 0.432807922363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29336 ÷ 217
    29336 ÷ 131072     		y = 0.22381591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432807922363281 × 2 - 1) × π
    -0.134384155273438 × 3.1415926535     		Λ = -0.42218027
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22381591796875 × 2 - 1) × π
    0.5523681640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.73531576624603
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42218027} λ = -0.42218027}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73531576624603))-π/2
    2×atan(5.67071814250601)-π/2
    2×1.39624640301223-π/2
    2.79249280602446-1.57079632675     		φ = 1.22169648
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42218027} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.189148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22169648 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.998052°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56729 KachelY 29336 -0.42218027 1.22169648 -24.189148 69.998052
    Oben rechts KachelX + 1 56730 KachelY 29336 -0.42213234 1.22169648 -24.186401 69.998052
    Unten links KachelX 56729 KachelY + 1 29337 -0.42218027 1.22168008 -24.189148 69.997113
    Unten rechts KachelX + 1 56730 KachelY + 1 29337 -0.42213234 1.22168008 -24.186401 69.997113
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22169648-1.22168008) × R
    1.64000000000275e-05 × 6371000     		dl = 104.484400000175m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22169648-1.22168008) × R
    1.64000000000275e-05 × 6371000     		dr = 104.484400000175m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42218027--0.42213234) × cos(1.22169648) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.3420520892905 × 6371000     		do = 104.449720351552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42218027--0.42213234) × cos(1.22168008) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.342067500012782 × 6371000     		du = 104.454426200992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22169648)-sin(1.22168008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3420520892905-0.342067500012782)×R²
    abs(-0.42213234--0.42218027)×1.541072228195e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.541072228195e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.541072228195e-05×40589641000000     		ar = 10913.612205158m²