Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 56728 / 9719
↖ ↑ ↗
← N 77.476753°
E131.616211°		 ← 132.44 m → N 77.476753°
E131.621704°		 →
↑
132.45 m
↓
↑
132.45 m
↓
N 77.475562°
E131.616211°		 ← 132.45 m →
17 543 m²		 N 77.475562°
E131.621704°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.865608215332031 y=0.148307800292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.865608215332031 × 216)
    floor (0.865608215332031 × 65536)
    floor (56728.5)     		tx = 56728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148307800292969 × 216)
    floor (0.148307800292969 × 65536)
    floor (9719.5)     		ty = 9719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 56728 / 9719 ti = "16/56728/9719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/56728/9719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56728 ÷ 216
    56728 ÷ 65536     		x = 0.8656005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9719 ÷ 216
    9719 ÷ 65536     		y = 0.148300170898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8656005859375 × 2 - 1) × π
    0.731201171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.29713623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148300170898438 × 2 - 1) × π
    0.703399658203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.20979519868535
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.29713623} λ = 2.29713623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20979519868535))-π/2
    2×atan(9.11384967349885)-π/2
    2×1.46151038037094-π/2
    2.92302076074188-1.57079632675     		φ = 1.35222443
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.29713623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.616211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35222443 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.476753°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56728 KachelY 9719 2.29713623 1.35222443 131.616211 77.476753
    Oben rechts KachelX + 1 56729 KachelY 9719 2.29723210 1.35222443 131.621704 77.476753
    Unten links KachelX 56728 KachelY + 1 9720 2.29713623 1.35220364 131.616211 77.475562
    Unten rechts KachelX + 1 56729 KachelY + 1 9720 2.29723210 1.35220364 131.621704 77.475562
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35222443-1.35220364) × R
    2.07899999999928e-05 × 6371000     		dl = 132.453089999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35222443-1.35220364) × R
    2.07899999999928e-05 × 6371000     		dr = 132.453089999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.29713623-2.29723210) × cos(1.35222443) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.216835718742056 × 6371000     		do = 132.440605106805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.29713623-2.29723210) × cos(1.35220364) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.216856014061769 × 6371000     		du = 132.453001239874m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35222443)-sin(1.35220364))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216835718742056-0.216856014061769)×R²
    abs(2.29723210-2.29713623)×2.02953197132039e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.02953197132039e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.02953197132039e-05×40589641000000     		ar = 17542.9883414852m²