Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56728 / 85622
↖ ↑ ↗
← S 48.206371°
W 24.191894°		 ← 203.55 m → S 48.206371°
W 24.189148°		 →
↑
203.55 m
↓
↑
203.55 m
↓
S 48.208202°
W 24.191894°		 ← 203.54 m →
41 433 m²		 S 48.208202°
W 24.189148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432804107666016 y=0.653247833251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432804107666016 × 217)
    floor (0.432804107666016 × 131072)
    floor (56728.5)     		tx = 56728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653247833251953 × 217)
    floor (0.653247833251953 × 131072)
    floor (85622.5)     		ty = 85622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56728 / 85622 ti = "17/56728/85622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56728/85622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56728 ÷ 217
    56728 ÷ 131072     		x = 0.43280029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85622 ÷ 217
    85622 ÷ 131072     		y = 0.653244018554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43280029296875 × 2 - 1) × π
    -0.1343994140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.42222821
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653244018554688 × 2 - 1) × π
    -0.306488037109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.962860565768448
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42222821} λ = -0.42222821}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.962860565768448))-π/2
    2×atan(0.381799160774758)-π/2
    2×0.364718213277378-π/2
    0.729436426554756-1.57079632675     		φ = -0.84135990
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42222821} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.191894°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84135990 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.206371°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56728 KachelY 85622 -0.42222821 -0.84135990 -24.191894 -48.206371
    Oben rechts KachelX + 1 56729 KachelY 85622 -0.42218027 -0.84135990 -24.189148 -48.206371
    Unten links KachelX 56728 KachelY + 1 85623 -0.42222821 -0.84139185 -24.191894 -48.208202
    Unten rechts KachelX + 1 56729 KachelY + 1 85623 -0.42218027 -0.84139185 -24.189148 -48.208202
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84135990--0.84139185) × R
    3.19500000000028e-05 × 6371000     		dl = 203.553450000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84135990--0.84139185) × R
    3.19500000000028e-05 × 6371000     		dr = 203.553450000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42222821--0.42218027) × cos(-0.84135990) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.666449568795822 × 6371000     		do = 203.550852722011m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42222821--0.42218027) × cos(-0.84139185) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.666425748129532 × 6371000     		du = 203.543577277383m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84135990)-sin(-0.84139185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.666449568795822-0.666425748129532)×R²
    abs(-0.42218027--0.42222821)×2.38206662899199e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38206662899199e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38206662899199e-05×40589641000000     		ar = 41432.737854465m²