Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56725 / 29333
↖ ↑ ↗
← N 70.000871°
W 24.200134°		 ← 104.44 m → N 70.000871°
W 24.197388°		 →
↑
104.48 m
↓
↑
104.48 m
↓
N 69.999931°
W 24.200134°		 ← 104.44 m →
10 912 m²		 N 69.999931°
W 24.197388°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56725 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432781219482422 y=0.223796844482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432781219482422 × 217)
    floor (0.432781219482422 × 131072)
    floor (56725.5)     		tx = 56725
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223796844482422 × 217)
    floor (0.223796844482422 × 131072)
    floor (29333.5)     		ty = 29333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56725 / 29333 ti = "17/56725/29333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56725/29333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56725 ÷ 217
    56725 ÷ 131072     		x = 0.432777404785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29333 ÷ 217
    29333 ÷ 131072     		y = 0.223793029785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432777404785156 × 2 - 1) × π
    -0.134445190429688 × 3.1415926535     		Λ = -0.42237202
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.223793029785156 × 2 - 1) × π
    0.552413940429688 × 3.1415926535     		Φ = 1.73545957694489
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42237202} λ = -0.42237202}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73545957694489))-π/2
    2×atan(5.67153371108746)-π/2
    2×1.39627099672549-π/2
    2.79254199345098-1.57079632675     		φ = 1.22174567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42237202} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.200134°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22174567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.000871°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56725 KachelY 29333 -0.42237202 1.22174567 -24.200134 70.000871
    Oben rechts KachelX + 1 56726 KachelY 29333 -0.42232409 1.22174567 -24.197388 70.000871
    Unten links KachelX 56725 KachelY + 1 29334 -0.42237202 1.22172927 -24.200134 69.999931
    Unten rechts KachelX + 1 56726 KachelY + 1 29334 -0.42232409 1.22172927 -24.197388 69.999931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22174567-1.22172927) × R
    1.64000000000275e-05 × 6371000     		dl = 104.484400000175m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22174567-1.22172927) × R
    1.64000000000275e-05 × 6371000     		dr = 104.484400000175m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42237202--0.42232409) × cos(1.22174567) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.342005865968659 × 6371000     		do = 104.435605504162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42237202--0.42232409) × cos(1.22172927) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.342021276966868 × 6371000     		du = 104.440311437859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22174567)-sin(1.22172927))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342005865968659-0.342021276966868)×R²
    abs(-0.42232409--0.42237202)×1.54109982083983e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.54109982083983e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.54109982083983e-05×40589641000000     		ar = 10912.1374285034m²