Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56721 / 85645
↖ ↑ ↗
← S 48.248455°
W 24.211121°		 ← 203.38 m → S 48.248455°
W 24.208374°		 →
↑
203.36 m
↓
↑
203.36 m
↓
S 48.250283°
W 24.211121°		 ← 203.38 m →
41 360 m²		 S 48.250283°
W 24.208374°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56721 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85645 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432750701904297 y=0.653423309326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432750701904297 × 217)
    floor (0.432750701904297 × 131072)
    floor (56721.5)     		tx = 56721
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653423309326172 × 217)
    floor (0.653423309326172 × 131072)
    floor (85645.5)     		ty = 85645
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56721 / 85645 ti = "17/56721/85645"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56721/85645.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56721 ÷ 217
    56721 ÷ 131072     		x = 0.432746887207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85645 ÷ 217
    85645 ÷ 131072     		y = 0.653419494628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432746887207031 × 2 - 1) × π
    -0.134506225585938 × 3.1415926535     		Λ = -0.42256377
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653419494628906 × 2 - 1) × π
    -0.306838989257812 × 3.1415926535     		Φ = -0.963963114459709
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42256377} λ = -0.42256377}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.963963114459709))-π/2
    2×atan(0.381378440584588)-π/2
    2×0.36435096772016-π/2
    0.72870193544032-1.57079632675     		φ = -0.84209439
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42256377} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.211121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84209439 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.248455°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56721 KachelY 85645 -0.42256377 -0.84209439 -24.211121 -48.248455
    Oben rechts KachelX + 1 56722 KachelY 85645 -0.42251583 -0.84209439 -24.208374 -48.248455
    Unten links KachelX 56721 KachelY + 1 85646 -0.42256377 -0.84212631 -24.211121 -48.250283
    Unten rechts KachelX + 1 56722 KachelY + 1 85646 -0.42251583 -0.84212631 -24.208374 -48.250283
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84209439--0.84212631) × R
    3.19200000000741e-05 × 6371000     		dl = 203.362320000472m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84209439--0.84212631) × R
    3.19200000000741e-05 × 6371000     		dr = 203.362320000472m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42256377--0.42251583) × cos(-0.84209439) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.665901789975323 × 6371000     		do = 203.38354697064m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42256377--0.42251583) × cos(-0.84212631) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.665877976058017 × 6371000     		du = 203.376273587324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84209439)-sin(-0.84212631))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665901789975323-0.665877976058017)×R²
    abs(-0.42251583--0.42256377)×2.38139173057705e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38139173057705e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38139173057705e-05×40589641000000     		ar = 41359.8103994262m²