Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5672 / 2790
↖ ↑ ↗
← N 81.560299°
W117.685547°		 ← 179.29 m → N 81.560299°
W117.674561°		 →
↑
179.34 m
↓
↑
179.34 m
↓
N 81.558686°
W117.685547°		 ← 179.32 m →
32 157 m²		 N 81.558686°
W117.674561°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2790 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.173110961914062 y=0.0851593017578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.173110961914062 × 215)
    floor (0.173110961914062 × 32768)
    floor (5672.5)     		tx = 5672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0851593017578125 × 215)
    floor (0.0851593017578125 × 32768)
    floor (2790.5)     		ty = 2790
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5672 / 2790 ti = "15/5672/2790"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5672/2790.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5672 ÷ 215
    5672 ÷ 32768     		x = 0.173095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2790 ÷ 215
    2790 ÷ 32768     		y = 0.08514404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.173095703125 × 2 - 1) × π
    -0.65380859375 × 3.1415926535     		Λ = -2.05400027
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08514404296875 × 2 - 1) × π
    0.8297119140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.60661685374017
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.05400027} λ = -2.05400027}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.60661685374017))-π/2
    2×atan(13.5531210112966)-π/2
    2×1.49714604185471-π/2
    2.99429208370943-1.57079632675     		φ = 1.42349576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.05400027} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -117.685547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42349576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.560299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5672 KachelY 2790 -2.05400027 1.42349576 -117.685547 81.560299
    Oben rechts KachelX + 1 5673 KachelY 2790 -2.05380853 1.42349576 -117.674561 81.560299
    Unten links KachelX 5672 KachelY + 1 2791 -2.05400027 1.42346761 -117.685547 81.558686
    Unten rechts KachelX + 1 5673 KachelY + 1 2791 -2.05380853 1.42346761 -117.674561 81.558686
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42349576-1.42346761) × R
    2.81499999998935e-05 × 6371000     		dl = 179.343649999322m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42349576-1.42346761) × R
    2.81499999998935e-05 × 6371000     		dr = 179.343649999322m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.05400027--2.05380853) × cos(1.42349576) × R
    0.000191739999999996 × 0.146768469762199 × 6371000     		do = 179.288772704728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.05400027--2.05380853) × cos(1.42346761) × R
    0.000191739999999996 × 0.146796314864123 × 6371000     		du = 179.322787600147m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42349576)-sin(1.42346761))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146768469762199-0.146796314864123)×R²
    abs(-2.05380853--2.05400027)×2.78451019239956e-05×R²
    0.000191739999999996×2.78451019239956e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.78451019239956e-05×40589641000000     		ar = 32157.3530808308m²